阶乘函数可递归地定义为：
n! = 1 n = 0 (边界条件) n! = n(n-1)! n > 0 (递归方程)边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结果。
实现：
/* 主题：阶乘使用递归和非递归实现* 作者：chinazhangjie* 邮箱：chinajiezhang@gmail.com* 开发语言：C++* 开发环境：Code::Blocks 10.05* 时间: 2010.10.05 */ #include < iostream > using namespace std; // factorial implement by recursive long factorial_recursive( long n){ if (n == 0 ) return 1 ; return n * factorial_recursive(n - 1 );} // factorial implement by loop long factorial_loop( long n){ long result = 1 ; for ( int i = n; i > 0 ; -- i) result *= i; return result;} int main(){ for ( int i = 0 ; i < 10 ; i ++ ) { cout << i << " ! " << " = " << factorial_recursive(i) << " , " << factorial_loop(i) << endl; } return 0 ;}
实现：
/* 主题：fibonacci数列使用递归和非递归实现* 作者：chinazhangjie* 邮箱：chinajiezhang@gmail.com* 开发语言：C++* 开发环境：Code::Blocks 10.05* 时间: 2010.10.05 */ #include < iostream > using namespace std; // fibonacci implement by recursive long fibonacci_recursive( long n){ if (n <= 1 ) return 1 ; return fibonacci_recursive(n - 1 ) + fibonacci_recursive(n - 2 );} // fibonacci implement by loop long fibonacci_loop( long n){ if (n == 0 || n == 1 ) return 1 ; long f1 = 1 ; long f2 = 1 ; long result = 0 ; for ( long i = 1 ; i < n ; ++ i) { result = f1 + f2; f1 = f2; f2 = result; } return result;} int main(){ cout << " fibonacci implement by recursive: " << endl; for ( long i = 0 ; i <= 20 ; ++ i) cout << fibonacci_recursive(i) << " " ; cout << endl << endl; cout << " fibonacci implement by loop: " << endl; for ( long i = 0 ; i <= 20 ; ++ i) cout << fibonacci_loop(i) << " " ; cout << endl; return 0 ;}
例3 Ackerman函数
当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时，称这个函数是双递归函数。
Ackerman函数A(n，m)定义如下：
A(1,0) = 2
A(0,m) = 1 m >= 0
A(n,0) = n + 2 n >= 2
A(n,m) = A(A(n-1,m),m-1) n,m >= 1
前2例中的函数都可以找到相应的非递归方式定义：
n! = 1 * 2 * 3 * ... * (n - 1) * n
本例中的Ackerman
函数却无法找到非递归的定义。
A(n，m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数：
M = 0时，A(n,0)=n+2
M = 1时，A(n,1)=A(A(n-1,1),0) = A(n-1,1)+2，和 A(1,1)=2故A(n,1)=2*n
M = 2时，A(n,2) = A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)，和A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2，故A(n,2)= 2^n 。
M = 3时，类似的可以推出
M = 4时，A(n,4)
的增长速度非常快，以至于没有适当的数
学式子来表示这一函数。
实现：
/* 主题：ackerman函数使用递归实现* 作者：chinazhangjie* 邮箱：chinajiezhang@gmail.com* 开发语言：C++* 开发环境：Code::Blocks 10.05* 时间: 2010.10.05 */ #include < iostream > using namespace std; // ackerman implement long ackerman( long n, long m){ if (n == 1 && m == 0 ) return ( long ) 2 ; if (n == 0 ) return 1 ; if (m == 0 ) return n + 2 ; return ackerman( ackerman(n - 1 ,m) , m - 1 );} int main(){ cout << " m = 0 : " << endl; cout << " ackerman(1,0) = " << ackerman( 1 , 0 ) << endl; cout << " ackerman(2,0) = " << ackerman( 2 , 0 ) << endl; cout << " ackerman(3,0) = " << ackerman( 3 , 0 ) << endl; cout << " ackerman(4,0) = " << ackerman( 4 , 0 ) << endl; cout << " m = 1 : " << endl; cout << " ackerman(1,1) = " << ackerman( 1 , 1 ) << endl; cout << " ackerman(2,1) = " << ackerman( 2 , 1 ) << endl; cout << " ackerman(3,1) = " << ackerman( 3 , 1 ) << endl; cout << " ackerman(4,1) = " << ackerman( 4 , 1 ) << endl; cout << " m = 2 : " << endl; cout << " ackerman(1,2) = " << ackerman( 1 , 2 ) << endl; cout << " ackerman(2,2) = " << ackerman( 2 , 2 ) << endl; cout << " ackerman(3,2) = " << ackerman( 3 , 2 ) << endl; cout << " ackerman(4,2) = " << ackerman( 4 , 2 ) << endl; cout << " m = 3 : " << endl; cout << " ackerman(1,3) = " << ackerman( 1 , 3 ) << endl; cout << " ackerman(2,3) = " << ackerman( 2 , 3 ) << endl; cout << " ackerman(3,3) = " << ackerman( 3 , 3 ) << endl; cout << " ackerman(4,3) = " << ackerman( 4 , 3 ) << endl; return 0 ;}
例4 排列问题
设计一个递归算法生成n个元素{r1,r2,…,rn}的全排列。
设R={r1,r2,…,rn}是要进行排列的n个元素，
Ri=R-{ri}
。
集合X中元素的全排列记为perm(X)。
(ri)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一个排列前加上前缀得到的排列。R的全排列可归纳定义如下：
当n=1时，perm(R)=(r)，其中r是集合R
中唯一的元素；
当n>1时，perm(R)由(r1)perm(R1)，(r2)perm(R2)，…，(rn)perm(Rn)构成。
/* 主题：全排列使用递归和非递归实现* 作者：chinazhangjie* 邮箱：chinajiezhang@gmail.com* 开发语言：C++* 开发环境：Code::Blocks 10.05* 时间: 2010.10.07 */ #include < iostream > #include < vector > #include < iterator > using namespace std; /* 使用递归实现* 递归产生所有前缀是list[0:k-1]，* 且后缀是list[k,m]的全排列的所有排列* 调用算法perm(list,0,n-1)则产生list[0:n-1]的全排列 */ template < class T > void perm_recursion(T list[], int k, int m){ // 产生list[k:m]的所有排列 if (k == m) { for ( int i = 0 ; i <= m; i ++ ) cout << list[i] << " " ; cout << endl; } else { // 还有多个元素，递归产生排列 for ( int i = k; i <= m; ++ i) { swap(list[k],list[i]); perm_recursion(list,k + 1 ,m); swap(list[k],list[i]); } }} // 非递归实现（可参照STL next_permutation源码） template < class T > void perm_loop(T list[], int len){ int i,j; vector < int > v_temp(len); // 初始排列 for (i = 0 ; i < len ; i ++ ) v_temp[i] = i; while ( true ) { for (i = 0 ; i < len; i ++ ) cout << list[v_temp[i]] << " " ; cout << endl; // 从后向前查找，看有没有后面的数大于前面的数的情况，若有则停在后一个数的位置。 for (i = len - 1 ;i > 0 && v_temp[i] < v_temp[i - 1 ] ; i -- ); if (i == 0 ) break ; // 从后查到i，查找大于 v_temp[i-1]的最小的数，记入j for (j = len - 1 ; j > i && v_temp[j] < v_temp[i - 1 ] ; j -- ); // 交换 v_temp[i-1] 和 v_temp[j] swap(v_temp[i - 1 ],v_temp[j]); // 倒置v_temp[i]到v_temp[n-1] for (i = i,j = len - 1 ; i < j;i ++ ,j -- ) { swap(v_temp[i],v_temp[j]); } }} int main(){ int list[] = { 0 , 1 , 2 }; cout << " permutation implement by recursion: " << endl; perm_recursion(list, 0 , 2 ); cout << endl; cout << " permutation implement by loop: " << endl; perm_loop(list, 3 ); cout << endl; return 0 ;}
例5 整数划分问题
将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。
正整数n的这种表示称为正整数n的划分。正整数n的不同划分个数称为正整数n的划分数，记作p(n)。
例如正整数6有如下11种不同的划分，所以p(6) = 11：
6；
5+1；
4+2，4+1+1；
3+3，3+2+1，3+1+1+1；
2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；
1+1+1+1+1+1。
前面的几个例子中，问题本身都具有比较明显的递归关系，因而容易用递归函数直接求解。
在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系，因此考虑增加一个自变量：在正整数n的所有不同划分中，将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。
(1) q(n,1)=1,n >= 1;当最大加数n1不大于1时，任何正整数n只有一种划分形式，
即n = 1 + 1 + 1 + … +1.
(2) q(n,m) = q(n,n),m >= n; 最大加数n1实际上不能大于n。因此，q(1,m)=1。(3) q(n,n)=1 + q(n,n-1); 正整数n的划分由n1=n的划分和n1 ≤ n-1的划分组成。
(4) q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),n > m >1;正整数n的最大加数n1不大于m的划分由 n1 = m的划分和n1 ≤ m-1 的划分组成。
前面的几个例子中，问题本身都具有比较明显的递归关系，因而容易用递归函数直接求解。
在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系，因此考虑增加一个自变量：将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。
q(n,m) = 1 n = 1, m = 1
q(n,m) = q(n,n) n = 1, m = 1
q(n,m) = 1 + q(n,n-1) n = m
q(n,m) = q(n,m-1) + q(n-m,m) n > m > 1
正整数n的划分数p(n) = q(n,n)。
实现：
/* 主题：整数划分使用递归实现* 作者：chinazhangjie* 邮箱：chinajiezhang@gmail.com* 开发语言：C++* 开发环境：Code::Blocks 10.05* 时间: 2010.10.07 */ #include < iostream > using namespace std; // int __int_partition( int n, int m){ if (n < 1 || m < 1 ) return 0 ; if (n == 1 || m == 1 ) return 1 ; if (n < m) return __int_partition(n,n); if (n == m) return __int_partition(n,m - 1 ) + 1 ; return __int_partition(n,m - 1 ) + __int_partition(n - m,m);} int integer_partition( int n){ return __int_partition(n,n);} int main(){ for ( int i = 1 ; i < 7 ; ++ i) { cout << " integer_patition( " << i << " ) = " << integer_partition(i) << endl; } return 0 ;}
例6 Hanoi塔问题
设a,b,c是3个塔座。开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍按同样顺序叠置。在移动圆盘时应遵守以下移动规则：
规则1：每次只能移动1个圆盘；
规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上；
规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中任一塔座上。
实现：
/* 主题：hanoi使用递归实现* 作者：chinazhangjie* 邮箱：chinajiezhang@gmail.com* 开发语言：C++* 开发环境：Code::Blocks 10.05* 时间: 2010.10.07 */ #include < iostream > using namespace std; void __move( char t1, char t2){ cout << t1 << " -> " << t2 << endl;} // 把n个圆盘，从t1塔移至t2塔通过t3塔 void hanoi( int n, char t1, char t2, char t3){ if (n > 0 ) { hanoi(n - 1 ,t1,t3,t2); __move(t1,t2); hanoi(n - 1 ,t3,t2,t1); }} int main(){ cout << " hanoi(1,'a','b','c'): " << endl; hanoi( 1 , ' a ' , ' b ' , ' c ' ); cout << endl; cout << " hanoi(1,'a','b','c'): " << endl; hanoi( 2 , ' a ' , ' b ' , ' c ' ); cout << endl; cout << " hanoi(3,'a','b','c'): " << endl; hanoi( 3 , ' a ' , ' b ' , ' c ' ); cout << endl; return 0 ;}
递归小结
优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。
缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。
解决方法：在递归算法中消除递归调用，使其转化为非递归算法。
1、采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。该方法通用性强，但本质上还是递归，只不过人工做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。
2、用递推来实现递归函数。
3、通过变换能将一些递归转化为尾递归，从而迭代求出结果。
后两种方法在时空复杂度上均有较大改善，但其适用范围有限。
