1. 边上权值非负情形的单源最短路径问题 — Dijkstra算法
2. 边上权值为任意值的单源最短路径问题 — Bellman和Ford算法3. 所有顶点之间的最短路径 — Floyd算法
Dijkstra算法：贪心策略
算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，已求出最短路径的顶点集合S和其余未确定最短路径的顶点集合V-S，按最短路径长度的递增次序依次把V-S的顶点加入S中。选择V-S中距离远点路径最短的点v',以v'为中转点更新所有的点的最短路径
起始设置所有点距离源点v的最短路径。如果v'与v相连，那么最短路径就是<v,v'>的长度，否则就是无穷大
#include <iostream> using namespace std; const int MAX =99999999; unsigned int n,e; int arr[100][100]; int visited[100] = {0}; int dis[100]; void Dijkstra() { for(int i = 1; i<n; i++) { int temp = MAX; int newVec = 0; for(int j = 1; j<n; j++) { if(visited[j]==0&&dis[j]<temp) { newVec = j; temp = dis[j]; } } visited[newVec] = 1; for(int j = 1; j<n; j++) { if(visited[j] == 0&&arr[newVec][j]<MAX) { if(dis[j]>dis[newVec]+ arr[newVec][j]) { dis[j] = dis[newVec]+ arr[newVec][j]; } } } } } int main() { cin>>n>>e; if(n>0&&e>0) { for(int i=0; i<100; i++) { for(int j=0; j<100; j++) { if(i!=j) arr[i][j] = MAX; else arr[i][j] = 0; } } for(int i=0; i<e; i++) { int from,to,dis; cin>>from>>to>>dis; arr[from][to] = dis; //arr[to][from] = dis; } /*for(int i=0; i<n; i++) { for(int j=0; j<n; j++) { cout<<arr[i][j]<<" "; } cout<<endl<<endl; }*/ for(int i = 0; i<n; i++) { dis[i] = arr[0][i]; } /*for(int i = 0; i<n; i++) { cout<<distance[i]<<" "; }*/ cout<<"Dijkstra 最短路："<<endl; visited[0] = 1; Dijkstra(); for(int i = 0; i<n; i++) { cout<<dis[i]<<" "; } } return 0; } /* 5 7 0 1 10 0 3 30 0 4 100 1 2 50 2 4 10 3 2 20 3 4 60 */
Bellman-Ford算法：持续松弛操作
什么叫松弛操作呢？在松弛一条边(u,v)的过程中，要测试是否可以通过u，对迄今找到的v的最短路径进行改进；如果可以改进的话，则更新d[v]。
bellman-ford算法是对图进行n-1次松弛操作，如果n-1次松弛操作以后还能继续进行松弛操作，那么说明原图中有负环（即圈的各边总权值为负）
为什么是n-1呢？我们可以确定的是，在一次对所有边进行松弛操作以后，我们至少可以确定一个定点的距离源点的最短路径（最坏可以考虑一条直线，中间有若干点，这种情况一次松弛只能确定一个点距离源点的最短路径。当一个点的连接的点个数超过一时，我们每次松弛确定得点个数大于1，最坏情况就是n-1次松弛确定所有点的最短路径）
那么，算法就很简单了，只有下面几行：
for(int i = 0;i<n-1;i++) { for(int j = 0;j<e;j++) { if(distance[edge[j].to]>distance[edge[j].from]+edge[j].val) { distance[edge[j].to] = distance[edge[j].from]+edge[j].val; } } }完整代码如下： #include <iostream> #include <stdlib.h> using namespace std; const int MAX =99999999; typedef struct Edge{ int from,to; int val; }Edge; Edge edge[1000]; unsigned int n,e; int dis[100]; bool Bellman() { for(int i = 0;i<n-1;i++) { for(int j = 0;j<e;j++) { if(dis[edge[j].to]>dis[edge[j].from]+edge[j].val) { dis[edge[j].to] = dis[edge[j].from]+edge[j].val; } } } bool flag = true; for(int k = 0 ; k < e;k++) { if(dis[edge[k].to]>dis[edge[k].from]+edge[k].val) { flag = false; break; } } return flag; } int main() { cin>>n>>e; if(n>0&&e>0) { for(int i = 1;i<n;i++) { dis[i] = MAX; } dis[0] = 0; for(int i=0; i<e; i++) { int from,to,dis; cin>>from>>to>>dis; edge[i].from = from; edge[i].to = to; edge[i].val = dis; //arr[to][from] = dis; } for(int i = 0; i<e; i++) { if(edge[i].from == 0) { dis[edge[i].to] = edge[i].val; } } for(int i = 0; i<n; i++) { cout<<dis[i]<<" "; } cout<<"Bellman-Ford最短路："<<endl; bool flag = Bellman(); if(flag) { for(int i = 0; i<n; i++) { cout<<dis[i]<<" "; } } else { cout<<"存在负环"<<endl; } } return 0; } /* 5 7 0 1 10 0 3 30 0 4 100 1 2 50 2 4 10 3 2 20 3 4 60 5 7 0 1 10 0 4 100 1 2 50 2 3 -2 3 0 -1 3 4 -6 4 2 -1 */Bellman的算法，存在一个问题就是每次都对所有的边进行进行松弛，会浪费一些时间复杂度。比如当我们还没有更新某个次序比较靠后的节点的时候，却会在第二个循环中，考虑用该节点去松弛其余节点。
比较好的改进措施是，我们使用一个队列，每次把刚刚进行松弛操作的节点加入队列中，每次从队列中取出节点去更新其他的节点这就是SPFA算法
void spfa() { queue<int> myqueue; while(!myqueue.empty()) { myqueue.pop(); } myqueue.push(0); while(!myqueue.empty()) { int v = myqueue.front(); visited[v] = 0; myqueue.pop(); for(int i = 0 ; i<n;i++) { if(dis[i]>dis[v]+arr[v][i]) { dis[i] = dis[v] + arr[v][i]; if(visited[i]!=1) { visited[i] = 1; myqueue.push(i); } } } } }使用上述spfa函数替代bellman函数即可
Floyd算法：计算图中每个顶点到其余所有顶点的最短路
这个算法时间复杂度为n^3。对于任意节点i,j遍历所有k,找到这样的k,使得以k为中转站的时候，i,j之间的最短路最短
一共三个for循环，算法很好记；前两个for循环用于遍历i,j后面一个for循环用于找到中转站k
核心代码：
for(int k=0; k<n; k++) for(int i=0; i<n; i++) for(int j=0; j<n; j++) if(arr[i][k]<MAX && arr[k][j]<MAX && arr[i][j]>arr[i][k]+arr[k][j]) arr[i][j]=arr[i][k]+arr[k][j];算法实现：
#include <iostream> using namespace std; const int MAX =99999999; unsigned int n,e; int arr[100][100]; void floyd() { for(int k=0; k<n; k++) for(int i=0; i<n; i++) for(int j=0; j<n; j++) if(arr[i][k]<MAX && arr[k][j]<MAX && arr[i][j]>arr[i][k]+arr[k][j]) arr[i][j]=arr[i][k]+arr[k][j]; } int main() { cin>>n>>e; if(n>0&&e>0) { for(int i=0; i<100; i++) { for(int j=0; j<100; j++) { if(i!=j) arr[i][j] = MAX; else arr[i][j] = 0; } } for(int i=0; i<e; i++) { int from,to,dis; cin>>from>>to>>dis; arr[from][to] = dis; arr[to][from] = dis; } floyd(); for(int i=0; i<n; i++) { for(int j=0; j<n; j++) { cout<<arr[i][j]<<" "; } cout<<endl; } return 0; } } /* 5 7 0 1 10 0 3 30 0 4 100 1 2 50 2 4 10 3 2 20 3 4 60 */ 文章中有的地方使用的是有向图表达，有的是无向图表达。望注意P.S.文章不妥之处还望指正
