泰勒展开式

一元函数Taylor展开

f(x)=f(x0)+f,(x0)(x−x0)+f,,(x)2(x−x0)2+...+fn(x)n(x−x0)n+R

---

二元函数Taylar展开

f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+(h∂∂x+k∂∂y)f(x0,y0)+12!(h∂∂x+k∂∂y)2f(x0,y0)+...+1n!(h∂∂x+k∂∂y)n+R

其中

(h∂∂x+k∂∂y) 表示 hfx(x0,y0)+kfy(x0,y0)

(h∂∂x+k∂∂y)2 表示 h2fxx(x0,y0)+k2fyy(x0,y0)+2hkfxy(x0,y0)

n元函数Taylor展开

设 X=(x1,x2,…,xn) ， X0=(x01,x02,…,x0n) ， ΔX=(Δx1,Δx2,…,Δxn) n元函数 f(X) 关于变量的 m+1 导数在 X0 处连续，则

f(X)=f(X0)+1m!(∑i=1n(Δxi∂∂xi))mf(X0)+Rm 其中 Rm=1(m+1)!(∑i=1n(Δxi∂∂xi))m+1f(X0+θΔX),θ∈(0,1)