和Dijkstra算法一样，弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。
基本思想
通过Floyd计算图G=(V,E)中各个顶点的最短路径时，需要引入一个矩阵S，矩阵S中的元素a[i][j]表示顶点i(第i个顶点)到顶点j(第j个顶点)的距离。
假设图G中顶点个数为N，则需要对矩阵S进行N次更新。初始时，矩阵S中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞。 接下来开始，对矩阵S进行N次更新。第1次更新时，如果"a[i][j]的距离" > "a[i][0]+a[0][j]"(a[i][0]+a[0][j]表示"i与j之间经过第1个顶点的距离")，则更新a[i][j]为"a[i][0]+a[0][j]"。 同理，第k次更新时，如果"a[i][j]的距离" > "a[i][k]+a[k][j]"，则更新a[i][j]为"a[i][k]+a[k][j]"。更新N次之后，操作完成！
单纯的看上面的理论可能比较难以理解，下面通过实例来对该算法进行说明。
以上图G4为例，来对弗洛伊德进行算法演示。
初始状态：S是记录各个顶点间最短路径的矩阵。 第1步：初始化S。 矩阵S中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞。实际上，就是将图的原始矩阵复制到S中。 注:a[i][j]表示矩阵S中顶点i(第i个顶点)到顶点j(第j个顶点)的距离。
第2步：以顶点A(第1个顶点)为中介点，若a[i][j] > a[i][0]+a[0][j]，则设置a[i][j]=a[i][0]+a[0][j]。 以顶点a[1]6，上一步操作之后，a[1][6]=∞；而将A作为中介点时，(B,A)=12，(A,G)=14，因此B和G之间的距离可以更新为26。
同理，依次将顶点B,C,D,E,F,G作为中介点，并更新a[i][j]的大小。
以"邻接矩阵"为例对弗洛伊德算法进行说明，对于"邻接表"实现的图在后面会给出相应的源码。
1. 基本定义
public class MatrixUDG { private int mEdgNum; // 边的数量 private char[] mVexs; // 顶点集合 private int[][] mMatrix; // 邻接矩阵 private static final int INF = Integer.MAX_VALUE; // 最大值 ... }MatrixUDG是邻接矩阵对应的结构体。mVexs用于保存顶点，mEdgNum用于保存边数，mMatrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，mMatrix[i][j]=1，则表示"顶点i(即mVexs[i])"和"顶点j(即mVexs[j])"是邻接点；mMatrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。
package graph; import java.util.Arrays; public class Prim { public static void main(String[] args) { int max = Integer.MAX_VALUE-10000; int graph[][] = { {max,max,10,max,30,100}, {max,max,5,max,max,max}, {max,max,max,50,max,max}, {max,max,max,max,max,10}, {max,max,max,20,max,60}, {max,max,max,max,max,max}, }; 弗洛伊德(graph); } public static void 弗洛伊德(int[][] graph){ //p[0][1] = 3表示节点0到节点1的最短路径经过了3，即0->3->1 int[][] path = new int[6][6]; //初始化path,初始状态path[i][j] =j,表示i直接到j不经过其他点 //此时graph保存的也是i直接到j的路径长度,MAX表示此路不通 for(int i=0;i<6;i++){ for(int j=0;j<6;j++){ path[i][j] = j; } } for(int i=0;i<6;i++){ //start为路径起点 for(int start=0;start<6;start++){ //end为路径终点 for(int end=0;end<6;end++){ //防止MAX+一个数 导致溢出 if(graph[start][i]==Integer.MAX_VALUE-10000||graph[i][end]==Integer.MAX_VALUE-10000){ continue; } //如果以i的路过点的路径比当前所存储的最短路径短的话 //则更新此路径为最短路径，并在path中标注出当前最短路径是经过i达到的 if(graph[start][end] > graph[start][i]+graph[i][end]){ graph[start][end] = graph[start][i]+graph[i][end]; path[start][end] = i; } } } } System.out.println(); } }
