首先01背包题目的雏形是
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
从这个题目中可以看出，01背包的特点就是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
其状态转移方程是：
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
对于这方方程其实并不难理解，方程之中，现在需要放置的是第i件物品，这件物品的体积是c[i],价值是w[i],因此f[i-1][v]代表的就是不将这件物品放入背包，而f[i-1][v-c[i]]+w[i]则是代表将第i件放入背包之后的总价值，比较两者的价值，得出最大的价值存入现在的背包之中。
理解了这个方程后，将方程代入实际题目的应用之中，可得
[cpp] view plain copy for(i = 1; i<=n; i++) { for(j = v; j>=c[i]; j--)//在这里，背包放入物品后，容量不断的减少，直到再也放不进了 { f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]); } }理解了01背包之后，下面就来看看实际的题目
HDU2546：饭卡 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2546 很经典的一道01背包题，要注意的是这里只要剩余的钱不低于5元，就可以购买任何一件物品，所以5在这道题中是很特许的，再使用01背包之前，我们首先要在现在所拥有的余额中保留5元，用这五元去购买最贵的物品，而剩下的钱就是背包的总容量，可以随意使用，因此可得代码
[cpp] view plain copy #include <stdio.h> #include <algorithm> using namespace std; int cmp(int a,int b) { return a<b; } int main() { int n; while(~scanf("%d",&n),n) { int i,price[2013]= {0},dp[2013] = {0}; for(i = 1; i<=n; i++) scanf("%d",&price[i]); sort(price+1,price+1+n,cmp); int MAX=price[n]; int j,m; scanf("%d",&m); if(m<5)//低于5元不能购买 { printf("%d\n",m); continue; } m-=5;//取出5元用于购买最贵的物品 for(i = 1; i<n; i++)//01背包 { for(j = m;j>=price[i];j--) { dp[j] = max(dp[j],dp[j-price[i]]+price[i]); } } printf("%d\n",m+5-dp[m]-MAX); } return 0; }
HDU1171：Big Event in HDU
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171
这道题咋看有点复杂，其实也只是换了一种思维，因为题目要求要尽量平均分配，所以我们可以先将总价值sum求出，然后得出其分配的平均值为sum/2,要注意这个答案可能为小数，但是又因为sum是整数，所以最后得出的sum/2是要小于等于实际的值。将这个结果进行01,背包，可以得出其中一个宿舍所得的最大价值，而另一个宿舍的最大价值也可以相应的得到，而前者必定小于等于后者。
[cpp] view plain copy #include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> using namespace std; int val[5005]; int dp[255555]; int main() { int n,i,j,a,b,l,sum; while(~scanf("%d",&n),n>0) { memset(val,0,sizeof(val)); memset(dp,0,sizeof(dp)); l = 0; sum = 0; for(i = 0;i<n;i++) { scanf("%d%d",&a,&b); while(b--) { val[l++] = a;//将价值存入数组 sum+=a; } } for(i = 0;i<l;i++) { for(j = sum/2;j>=val[i];j--)//01背包 { dp[j] = max(dp[j],dp[j-val[i]]+val[i]); } } printf("%d %d\n",sum-dp[sum/2],dp[sum/2]); } return 0; }HDU2602：Bone Collector
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602
经典的01背包题，给出了石头的数量与背包的容量，然后分别给出每个石头的容量与价值，要求最优解，经过前面的练手，这道题已经是很简单了，可以说是01背包果题。
[cpp] view plain copy #include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> using namespace std; struct Node { int h; int v; } node[1005]; int main() { int t,n,m,l; int dp[1005]; scanf("%d",&t); while(t--) { scanf("%d%d",&n,&m); int i; for(i = 1; i<=n; i++) scanf("%d",&node[i].h); for(i = 1; i<=n; i++) scanf("%d",&node[i].v); memset(dp,0,sizeof(dp)); for(i = 1; i<=n; i++) { for(l = m; l>=node[i].v; l--) dp[l] = max(dp[l],dp[l-node[i].v]+node[i].h); } printf("%d\n",dp[m]); } return 0; }HDU2639：Bone Collector II(01背包第k优解)
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2639
解决了上面那倒题目之后，这道题跟上面的题目有些不同，因为这里要求的是第K优解
[cpp] view plain copy #include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> using namespace std; struct Node { int price; int val; } node[1005]; int main() { int t; scanf("%d",&t); while(t--) { int n,v,k,i,dp[1005][31] = {0},a[31],b[31]; scanf("%d%d%d",&n,&v,&k); for(i = 0; i<n; i++) scanf("%d",&node[i].price); for(i = 0; i<n; i++) scanf("%d",&node[i].val); int j; for(i = 0; i<n; i++) { for(j = v; j>=node[i].val; j--) { int cnt = 0,d; for(d = 1; d<=k; d++)//分别将放入第i个石头与不放第i个石头的结果存入a,b,数组之中 { a[d] = dp[j-node[i].val][d]+node[i].price; b[d] = dp[j][d]; } int x,y,z; x = y = z = 1; a[d] = b[d] = -1; while(z<=k && (x<=k || y<=k))//循环找出前K个的最优解 { if(a[x] > b[y]) { dp[j][z] = a[x]; x++; } else { dp[j][z] = b[y]; y++; } if(dp[j][z]!=dp[j][z-1]) z++; } } } printf("%d\n",dp[v][k]); } return 0; }
HDU2955：Robberies
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2955
这道题有点特别，咋看之下其状态转移方程似乎有些不同，但事实上远离是相通的，要注意其精度
[cpp] view plain copy #include <stdio.h> #include <algorithm> using namespace std; struct Bank { int money; double p; } bank[10005]; int main() { int n,t; double p; scanf("%d",&t); while(t--) { scanf("%lf%d",&p,&n); p = 1-p; int i,j,sum = 0; for(i = 0; i<n; i++) { scanf("%d%lf",&bank[i].money,&bank[i].p); bank[i].p = 1-bank[i].p; sum+=bank[i].money; } double dp[10005]= {1.0}; for(i = 0; i<n; i++) { for(j = sum; j>=bank[i].money; j--) { dp[j] = max(dp[j],dp[j-bank[i].money]*bank[i].p); } } for(i = sum; i>=0; i--) { if(dp[i]-p>0.000000001) { printf("%d\n",i); break; } } } return 0; }HDU3466：Proud Merchants
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3466
这道题由于规定了手上的前低于q时就不能购买该样东西，所以要先将商品按q-p排序，剩下的就是简单的01背包了
[cpp] view plain copy #include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> using namespace std; struct node { int p,q,v; } a[555]; int cmp(node x,node y)//按q-p排序，保证差额最小为最优 { return x.q-x.p<y.q-y.p; } int main() { int n,m,i,j; int dp[5555]; while(~scanf("%d%d",&n,&m)) { for(i = 0; i<n; i++) scanf("%d%d%d",&a[i].p,&a[i].q,&a[i].v); memset(dp,0,sizeof(dp)); sort(a,a+n,cmp); for(i = 0; i<n; i++) { for(j = m; j>=a[i].q; j--)//剩余的钱大于q才能买 { dp[j] = max(dp[j],dp[j-a[i].p]+a[i].v);//这里的j-a[i].p决定了之前的排序方法 } } printf("%d\n",dp[m]); } return 0; }
HDU1864：最大报销额
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1864
题目中药注意的有几样，首先每张发票中单件物品价格不能超过600，其次发票总额不能超过1000，而且发票上的物品必须是ABC三类，将满足以上条件的发票存入数组之中，就是裸01背包
[cpp] view plain copy #include <stdio.h> #include <algorithm> #include <string.h> using namespace std; int dp[3000050];//由于每张发票不超过1000，最多30张，扩大100倍数后开这么大即可 int main() { char ch; double x,y; int sum,a,b,c,money[35],v; int t,i,j,k; while(~scanf("%lf%d",&x,&t),t) { sum = (int)(x*100);//将小数化作整数处理 memset(money,0,sizeof(money)); memset(dp,0,sizeof(dp)); int l = 0; for(i = 0; i<t; i++) { scanf("%d",&k); a = b = c = 0; int flag = 1; while(k--) { scanf(" %c:%lf",&ch,&y); v = (int)(y*100); if(ch == 'A' && a+v<=60000) a+=v; else if(ch == 'B' && b+v<=60000) b+=v; else if(ch == 'C' && c+v<=60000) c+=v; else flag = 0; } if(a+b+c<=100000 && a<=60000 && b<=60000 && c<=60000 && flag)//按题意所说，必须满足这些条件 money[l++] = a+b+c; } for(i = 0; i<=l; i++) { for(j = sum; j>=money[i]; j--) dp[j] = max(dp[j],dp[j-money[i]]+money[i]); } printf("%.2lf\n",dp[sum]/100.0); } return 0; } 关于0/1背包就讲这么多，多做题自己体会。
