随机过程
在当代科学与社会的广阔天地里，人们都可以看到一种叫作
随机过程的数学模型：从银河亮度的起伏到星系空间的物质分布、从分子的布朗运动到原子的蜕变过程，从化学反应动力学到电话通讯理论、从谣言的传播到传染病的流行、从市场预测到密码破译，随机过程理论及其应用几乎无所不在。人类历史上第一个从理论上提出并加以研究的过程模型是马尔科夫链，它是
马尔科夫对概率论乃至人类思想发展作出的又一伟大贡献。
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随机过程就是描写叙述某个空间上粒子的随机运动过程的一种方法。它是一连串随机事件动态关系的定量描写叙述。随机过程与其他数学分支，如微分方程、复变函数等有密切联系。是自然科学、project科学及社会科学等领域研究随机现象的重要工具。
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马尔可夫随机过程和马尔可夫链
马尔科夫过程，是指下一个时间点的值只与当前值有关系，与以前没有关系，即未来决定于现在而不是过去。
用一个通俗的比喻来形容，一只被切除了大脑的白鼠在若干个洞穴间的蹿动就构成一个
马尔可夫链。因为这只白鼠已没有了记忆，瞬间而生的念头决定了它从一个洞穴蹿到另一个洞穴；当其所在位置确定时，它下一步蹿往何处与它以往经过的路径无关。这一模型的哲学意义是十分明显的，用前苏联数学家辛钦（1894－1959〕的话来说，就是承认客观世界中有这样一种现象，其未来由现在决定的程度，使得我们关于过去的知识丝毫不影响这种决定性。这种在已知 “现在”的条件下，“未来”与“过去”彼此独立的特性就被称为马尔科夫性，具有这种性质的随机过程就叫做马尔科夫过程，其最原始的模型就是马尔科夫链。
换个说法：马尔科夫随机过程是一类随机过程
马尔科夫随机过程是一类随机过程。它的原始模型
马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫于1907年提出。该过程具有如下特性：在已知目前状态 (现在)的条件下，它未来的演变 (将来)不依赖于它以往的演变 ( 过去 ) 。 例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过程。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的
布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。关于该过程的研究，1931年A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。
人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态(现在)的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的,当现在所处的位置已知时,它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。如果将荷叶编号并用X0,X1,X2,…分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{Xn，n≥0} 就是马尔可夫过程。液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用马可夫过程来近似。
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马尔可夫随机场
马尔可夫随机场（Markov Random Field）包含两层意思。
马尔可夫性质：它指的是一个随机变量序列按时间先后关系依次排开的时候，第N+1时刻的分布特性，与N时刻以前的随机变量的取值无关。拿天气来打个比方。如果我们假定天气是马尔可夫的，其意思就是我们假设今天的天气仅仅与昨天的天气存在概率上的关联，而与前天及前天以前的天气没有关系。其它如传染病和谣言的传播规律，就是马尔可夫的。
随机场：当给每一个位置中按照某种分布随机赋予相空间的一个值之后，其全体就叫做随机场。我们不妨拿种地来打个比方。其中有两个概念：位置（site），相空间（phase space）。“位置”好比是一亩亩农田；“相空间”好比是种的各种庄稼。我们可以给不同的地种上不同的庄稼，这就好比给随机场的每个“位置”，赋予相空间里不同的值。所以，俗气点说，随机场就是在哪块地里种什么庄稼的事情。
马尔可夫随机场：马尔科夫随机场是具有马尔科夫特性的随机拿种地打比方，如果任何一块地里种的庄稼的种类仅仅与它邻近的地里种的庄稼的种类有关，与其它地方的庄稼的种类无关，那么这些地里种的庄稼的集合，就是一个马尔可夫随机场。
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数学描述
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马尔可夫随机场
在随机场的基础上添加马尔科夫性质，从而得到马尔科夫随机场。把马尔科夫随机场映射到
无向图中，此无向图中的节点都与某个随机变量相关，连接着节点的边代表与这两个节点有关的随机变量之间的关系，所以，马尔科夫随机场其实表达出随机变量之间有些关系因素是必须要考虑的，而另外则有些是可以不用考虑的。马尔科夫随机场的某个随机变量，仅仅只与其相邻的随机变量有关，与那些不相邻的随机变量无关。
设
为S上的
邻域系统，若随机场
满足如下条件：
（1）
;
（2）
则称X为以
为邻域系统的马尔科夫随机场，上式称为马尔科夫随机场的局部特性。
马尔可夫随机场，也叫马尔可夫网。无向图模型也叫马尔科夫随机场(MarkovRandomFields)或马尔科夫网络(MarkovNetwork)，无向图模型有一个简单的独立定义：两个节点集A、B都与给定的第三个节点集C相互条件独立，A、B节点之间的路径都被C中的节点分开。
相比之下，
有向图模型也叫
贝叶斯网络(Bayesiannetworks)或信念网络(BeliefNetworks)，有向图模型有一个更复杂的独立性观念。
形式上，一个马尔可夫网络包括：
（1）一个无向图G= (V,E)，每个顶点v∈V表示一个在集合的随机变量，每条边 {u,v} ∈E表示随机变量u和v之间的一种依赖关系。
（2）一个函数集合
（也称为因子或者团因子有时也称为特征），每一个
的定义域是图G的团或子团k。每一个
是从可能的特定联合的指派（到元素k）到非负实数的映射。
联合分布函数：
联合分布（吉布斯测度）用马尔可夫网络可以表示为：
其中
是向量，
是随机变量 ，
在第k个团的状态（
是在第k个团中包含的节点数），乘积包括了图中的所有团。注意马尔可夫性质在团内的节点存在，在团之间是不存在依赖关系的。这里， Z是配分函数，有
实际上，马尔可夫网联络经常表示为对数线性模型。通过引入特征函数
，得到
和
以及划分函数
其中，
是权重，
是势函数，映射团k到实数。这些函数有时亦称为吉布斯势；术语势源于物理，通常从字面上理解为在临近位置产生的势能。
对数线性模型是对势能的一种便捷的解释方式。一个这样的模型可以简约的表示很多分布，特别是在领域很大的时候。另一方面，负的似然函数是凸函数也带来便利。但是即便对数线性的马尔可夫网络似然函数是凸函数，计算似然函数的梯度仍旧需要模型推理，而这样的推理通常是难以计算的。
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马尔可夫性质
马尔可夫网络有这样的马尔可夫性质：图的顶点u在状态的概率只依赖顶点u的最近临节点，并且顶点u对图中的其他任何节点是条件独立的。该性质表示为
顶点u的最近临节点集合
也称为顶点u的马尔可夫毯。
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马尔可夫随机场特点
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马尔科夫随机场具有以下几个鲜明的特点：
（1）马尔科夫模型中，像素的空间关系可以传播，通过像素之间的相互作用，从而低阶马尔科夫随机场可以被用来描述的像素之间的关系；
（2）在马尔科夫随机场模型不仅可以表示出的图像的随机性，同时又能表示出图像的底层结构，因此道路场景的性质能够被很好的表述；
（3）马尔科夫随机场模型，从物理模型出发，同时也直接关系到道路场景图像的数据（灰色值或特征）；
（4）Besag对MRF的深入研究，得出吉布斯分布于马尔科夫随机场的关系，使得马尔科夫随机场与能量函数相关在一起；
（5）求解马尔科夫随机场描述的不确定性问题，利用统计决策、估计理论、贝叶斯理论，将道路场景的先验知识用先验分布模型表示，使用最大后验估计作为道路场景分割的标准。
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