maximum estimator method more known as MLE of a uniform distribution
[0,θ]
区间上的均匀分布为例，独立同分布地采样样本
x1,x2,…,xn
，我们知均匀分布的期望为：
θ2
。
首先我们来看，如何通过最大似然估计的形式估计均匀分布的期望。均匀分布的概率密度函数为：
f(x|θ)=1θ,0≤x≤θ
。不失一般性地，将
x1,x2,…,xn
排序为顺序统计量：
x(1)≤x(2)≤⋯≤x(n)
。则根据似然函数定义，在此样本集合上的似然函数为：
L(θ|x)=∏i=1n1θ=θ−n(∗)
对
x(1)≥0,x(n)≤θ
，否则为 0。然后求其对数形式关于
θ
的导数：
dlnL(θ|x)dθ=−nθ<0.
导数小于 0，因此可以说
L(x|θ)
是单调减函数
θ≥x(n)
，因此当
θ=x(n)
（
θ
能取到的最小值），也即
θ=max{x1,x2,…,xn}
时，
L(x|θ)
值最大，则关于
θ
的最大似然估计为：
θ^=x(n)=max{x1,x2,…,xn}
