之前在学习《Ray Tracing From The Ground Up》时，有总结过“蒙特·卡罗积分”： Q73：蒙特•卡罗积分（Monte Carlo Integration）
后文内容，主要参考PBRT-V3的13.10章节。
对于积分：
Monte Carlo estimator: “重要性采样”就是根据f(x)的值来调整p(x)的概率分布。 也就是说：f(x)值大的地方，就多采几个点；f(x)值小的地方，就少采几个点。 （f(x)值大的地方说明：这个地方的x对积分结果的贡献大，所以要多采几个点）
p(x)的概率分布和f(x)的值越是接近，Monte Carlo estimator计算的结果越精确。
如果不是“重要性采样”，会怎么样呢？
不是“重要性采样”，也就是说： case 1，f(x)值大的地方，p(x)的概率分布小； case 2，f(x)值小的地方，p(x)的概率分布大；
回头看看Monte Carlo estimator，累加的单项是：f(x)/p(x) “重要性采样”的情况是：大/大+小/小
不是“重要性采样”的情况是：大/小+小/大
问题来了，“大/小”会得到一个很大的值，使得整体的方差增大； “小/大”会得到一个很小的值，也使得整体的方差增大；
前面的内容只是为了说明一点： p(x)的概率分布和f(x)的值差异越小，计算的结果越精确； p(x)的概率分布和f(x)的值差异越大，计算的结果越不精确；
对于这种积分： 怎么采样呢？
f(x)和g(x)都有各自的“重要性采样”对应的概率分布。 f(x)g(x)是用哪一个对应的概率分布进行采样呢？ （假设f(x)g(x)乘积的结果不便采样）
不管用哪一个对应的概率分布，对另一个来说可能都不是“重要性采样”，所以，都会导致计算结果方差增大。
在这种情况下，比较容易想到： 分别用f(x)、g(x)对应的概率分布采样求出两个值，然后对这两个值求平均。 （不好！因为“两个值”的方差都很大，“求平均”并不能消除方差）
“复合重要性采样”的策略是： 不是“分别用f(x)、g(x)对应的概率分布采样求出两个值，然后对这两个值求平均。” 而是“在分别用f(x)、g(x)对应的概率分布采样求积分的过程中，分别乘以各自的权系数”。
权系数函数怎么确定呢？
有个被称为“balance heuristic”的函数是个不错的选择： 这个函数“不错”的原因是： “分母”的式子“所有可能分子”的累加。 这样，一方面保证所有权系数的和为1；另一方面每一项中都考虑了所有其他项的概率分布。
将这个函数代入前面“复合重要性采样”的式子的第一项：
只要f(x)、g(x)分别对应各自的“重要性采样”，即：
f(x)大，pf(x)大； f(x)小，pf(x)小； g(x)大，pg(x)大； g(x)小，pg(x)小；这样，前面的式子的值只有如下几种情况：
（大*大）/（大+大）=大/大； （大*小）/（大+小）=大/大（小/小）； （小*大）/（小+大）=小/小（大/大）； （小*小）/（小+小）=小/小；可以看出，没有出现增大方差的情况：
大/小； 小/大；所以，最终计算的结果是比较精确的。
pbrt-v3中的代码实现:
inline Float BalanceHeuristic(int nf, Float fPdf, int ng, Float gPdf) { return (nf * fPdf) / (nf * fPdf + ng * gPdf); }pbrt-v3中实际使用的power heuristic（加上一个指数，对减小方差效果更好）
Veach这个哥们，根据经验发现指数=2时效果不错。 所以，在pbrt-v3中也将该指数固定为2。相关代码：
inline Float PowerHeuristic(int nf, Float fPdf, int ng, Float gPdf) { Float f = nf * fPdf, g = ng * gPdf; return (f * f) / (f * f + g * g); }pbrt-v3中的DirectLightingIntegrator的实现是基于“复合重要性采样”的。
如果只对f（即BSDF）进行“重要性采样”： 当遇到Ld（即Light）是delta光源（点光源只有一个点发光；平行光光源只有一个发光）时， 大部分（大概率）情况下采样点对应光线的radiance都会是0（小值）， 即出现“大/小”的情况，所以计算结果方差很大。
如果只对Ld（即Light）进行“重要性采样”： 当遇到f（即BSDF)包含镜面反射时， 也会出现， 大部分（大概率）情况下采样点对应光线的radiance都会是0（小值）， 即出现“大/小”的情况，所以计算结果方差很大。
综上，可能出现“意外”的情况有：
1，对BSDF采样时，遇到“小”光源，效果不好； 2，对Light采样时，遇到“光滑”表面，效果不好；借用PBRT-V3中14.3章节的图来说明“复合重要性采样”：
对BSDF进行重要性采样时，遇到“大”光源，效果还可以：对比a、c图中的绿色框标注部分。 对Light进行重要性采样时，遇到“粗糙”表面，效果还可以：对比b、c图中的红色框标注部分。对BSDF和Light进行“复合重要性采样”时，效果最好！！！！！！！！
另外，分别采样时，针对的采样对象可以不一样。 比如： 对Light采样时，是针对“面积”； 对BSDF采样时，是针对“立体角”。
用到复合重要性采样的光传播算法： Q120：PBRT-V3，“直接光照”积分器（14.3章节） Q136：PBRT-V3，双向路径追踪（Bidirectional Path Tracing）（16.3章节）
图形学中提到的“采样”一般都是指“重要性采样”。 另外，光线从光源经过一系列碰撞到达相机的过程中，对撞击点处的BRDF进行采样是一定要做的。 所以，“复合重要性采样”中的“复合”是看有没有对光源进行采样。然后将“BRDF采样”和“光源采样”进行“复合”。
Q120：PBRT-V3，“直接光照”积分器（14.3章节） 由于是“直接光照”，所以是将撞击点和光源直接连接。 怎么体现“复合”呢？ 对撞击点处的BRDF进行采样，得到入射光，入射光撞击光源，得到“贡献值1”； 对光源进行采样得到一个采样点，连接光源采样点和撞击点来确定入射光线，得到“贡献值2”。 将“贡献值1”和“贡献值2”进行“复合”。
Q136：PBRT-V3，双向路径追踪（Bidirectional Path Tracing）（16.3章节） 从相机出发产生一条子路径CameraSubpath，从光源出发产生一条子路径LightSubpath。 然后连接这两条子路径。 怎么体现“复合”呢？ 两条子路径的连接可以产生多条完整路径。 将连接后的完整路径上的贡献值进行“复合”。
