正四面体（顶点数：4，棱数：6）
1、以顶点为目标的转动群： 以顶点—面心为轴：(1)1 (3)1 8个置换群； 以棱中—棱中为轴：(2)2 3个置换群； 不动：(1)4 1个置换群； 2、以棱为目标的转动群： 以顶点—面心为轴：(3)2 8个置换群； 以棱中—棱中为轴：(1)2 (2)2 3个置换群； 不动：(1)6 1个置换群； 3、以面为目标的转动群： 以顶点—面心为轴：(1)1 (3)1 8个置换群； 以棱中—棱中为轴：(2)2 3个置换群； 不动：(1)4 1个置换群；正六面体（顶点数：8，棱数：12）
1、以顶点为目标的转动群： 以顶点—顶点为轴：(1)2 (3)2 8个置换群； 以棱中—棱中为轴：(2)4 6个置换群； 以面心—面心为轴：(4)2 6个置换群； (2)4 3个置换群； 不动：（1）8 1个置换群； 2、以棱为目标的转动群： 以顶点—顶点为轴：(3)4 8个置换群； 以棱中—棱中为轴：(1)2 (2)5 6个置换群； 以面心—面心为轴：(4)3 6个置换群； (2)6 3个置换群； 不动：(1)12 1个置换群； 3、以面为目标的转动群： 以顶点—顶点为轴：(3)2 8个置换群； 以棱中—棱中为轴：(2)3 6个置换群； 以面心—面心为轴：(1)2 (4)1 6个置换群； (1)2 (2)2 3个置换群； 不动：(1)6 1个置换群；正八面体（顶点数：6，棱数：12）
1、以顶点为目标的转动群： 以顶点—顶点为轴：(1)2 (4)1 6个置换群； (1)2 (2)2 3个置换群； 以棱中—棱中为轴：(2)3 6个置换群； 以面心—面心为轴：(3)2 8个置换群； 不动：(1)6 1个置换群； 2、以棱为目标的转动群： 以顶点—顶点为轴：(4)3 6个置换群； (2)6 3个置换群； 以棱中—棱中为轴：(1)2 (2)5 6个置换群； 以面心—面心为轴：(3)4 8个置换群； 不动：(1)12 1个置换群； 3、以面为目标的转动群： 以顶点—顶点为轴：(4)3 6个置换群； (2)6 3个置换群； 以棱中—棱中为轴：(2)3 6个置换群； 以面心—面心为轴：(1)2 (3)2 8个置换群； 不动：(1)8 1个置换群；足球（顶点数：60，棱数：90；五边形：12；六边形：20）
1、以顶点为目标的转动群： 以五边形面心—五边形面心为轴：(5)12 24个置换群； 以棱中—棱中为轴：(2)30 15个置换群； 以六边形面心—六边形面心为轴：(3)20 20个置换群； 不动：(1)60 1个置换群； 2、以棱为目标的转动群： 以五边形面心——五边形面心为轴：(5)18 24个置换群； 以棱中—棱中为轴：(1)2 (2)44 15个置换群； 以六边形面心—六边形面心为轴：(3)30 20个置换群； 不动：(1)90 1个置换群；多面体类（以六面体为例）
分析：
首先重要的是要弄清楚正方体的旋转，共24种变换。 1、静止不动，那么就是12个循环，每个循环节长度为1 2、通过两个对立的顶点，分别旋转120，240，有4组顶点，在每一次旋转当中，可以发现分为4个循环，每个循环节长度为3，直观的说，就是有3条边是交换的，颜色必须一样。 3、通过两个对立面的中心，分别旋转90，180，270度。有3组面在每次旋转90度和270度的时候，可以发现分为3个循环，每个循环节长度为4在每次旋转180度的时候，可以发现分为6个循环，每个循环节长度为2 4、通过两条对立的棱的中心，分别旋转180度，有6组棱在每次旋转的时候，分为6个循环，每个循环节长度为2 有了以上基础之后，便是对于每一个置换，求出等价的种数。 这里通过组合数来确定，以上说了，是将12条边分为若干个循环，每个循环的颜色相同。转换成n个物品放入n个集合的种数。下面来看代码：
#define N 1000000000 #define inf 1<<29 #define MOD 9973 #define LL long long int a[7],b[7]; LL c[15][15]; //处理每K条边必须颜色相同 //总共把边分为12/k组 LL slove(int k){ int n=0; LL sum=1; for(int i=0;i<6;i++) if(b[i]%k==0){ b[i]/=k; n+=b[i]; } else return 0; //总共n组，然后通过组合数确定方案数 for(int i=0;i<6;i++){ sum*=c[n][b[i]]; n-=b[i]; } return sum; } LL still_slove(){ memcpy(b,a,sizeof(a)); //静止不到，不需要有边相同 return slove(1); } LL point_slove(){ memcpy(b,a,sizeof(a)); //有4组顶点，每个轴可以转120以及160度 //每组旋转，循环节长度为3，3条边的颜色一样 return 4*2*slove(3); } LL plane_slove(){ //3有组对面，可以旋转90度和270度 //每次旋转，要求4条边颜色相同 memcpy(b,a,sizeof(a)); LL ans=3*2*slove(4); memcpy(b,a,sizeof(a)); //3组对面，旋转180度 //每次旋转要求两条边颜色相同 return ans+3*slove(2); } LL edge_slove(){ LL ans=0; for(int i=0;i<6;i++) for(int j=0;j<6;j++){ //围绕棱旋转，有两条棱是不变的，先除掉 memcpy(b,a,sizeof(a)); b[i]--;b[j]--; if(b[i]<0||b[j]<0) continue; //6组对棱，每次旋转180度 //每次旋转，两条边相同 ans+=6*slove(2); } return ans; } LL Polya(){ LL ans=0; //第一种静止不动 ans+=still_slove(); //第二种过某顶点以及相对的顶点的轴旋转 ans+=point_slove(); //第三种过某个面以及相对的面的轴旋转 ans+=plane_slove(); //第四种过某条棱以及相对的棱为轴旋转 ans+=edge_slove(); return ans/24; } //预处理组合数 void Init(){ for(int i=0;i<=12;i++){ c[i][0]=c[i][i]=1; for(int j=1;j<i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1]); } } int main(){ Init(); int t,k; scanf("%d",&t); while(t--){ memset(a,0,sizeof(a)); for(int i=0;i<12;i++){ scanf("%d",&k); a[k-1]++; } printf("%lld\n",Polya()); } return 0; }环类
分析：
置换及循环节数的计算方法：对于有n个位置的手镯，有n种旋转置换和n种翻转置换： 对于旋转置换：c(fi) = gcd(n,i) i为一次转过i颗宝石（ i = 0 时 c=n;） 对于翻转置换：如果n为偶数：c(f) = n/2 的置换有n/2个; c(f) = n/2+1 的置换有n/2个; 如果n为奇数：c(f) = n/2+1.下面来看代码：
int Gcd(int a,int b){ return b?Gcd(b,a%b):a; } double Polgy(int n){ int i; double sum=0,tmp; if(n==0) return 0; //旋转置换的情况 for(i=1;i<=n;i++){ tmp=Gcd(i,n); sum+=pow(3.0,Gcd(i,n)); } //翻转置换的情况 if(n%2==0){ sum+=pow(3.0,n/2+1)*n/2; sum+=pow(3.0,n/2)*n/2; } else{ sum+=pow(3.0,n/2+1)*n; } return sum/2/n; } int main(){ int n; while(cin>>n && n!=-1){ cout<<(int)Polgy(n)<<endl; } }