第一讲 极限与连续

一、极限定义

对任意小的一个波动（\(\forall \varepsilon \gt 0\)），都存在一个对应的 \(x\) 的波动半径（\(\exists \delta \gt 0\)）， 使得当 \(x\) 在 \(x_0 - \delta\) 到 \(x_0+\delta\) 这个范围内波动时（\(0 \lt |x-x_0| \lt \delta\)）， 函数值 \(f(x)\) 可以在 \(A-\varepsilon\) 到 \(A+\varepsilon\) 这个范围内波动（\(|f(x)-A| \lt \varepsilon\)）

1.1 函数的极限

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \forall \varepsilon \gt 0 ,\, \exists \delta \gt 0 ,\, 0 \lt |x - x_0| \lt \delta ,\, |f(x)-A| \lt \varepsilon \]

1.2 数列的极限

\[\lim_{n \to \infty} x_n = a \iff \forall \varepsilon \gt 0 ,\, \exists N \gt 0 ,\, n \gt N ,\, |x_n - a| \lt \varepsilon \]

二、极限性质

2.1 唯一性

若 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\) 存在，则\(A\)唯一

左右极限相等：\(\lim_{x \to x_0^-}f(x) = \lim_{x \to x_0^+}f(x) = A\) 常见： 指数函数、反三角函数、绝对值函数等的 \(\lim_{x \to \infty}\) 不存在

2.2 局部有界性

若 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)，则 \(\exists M \gt 0,\delta \gt 0\)，当 \(0 \lt |x-x_0| \lt \delta\) 时，恒有 \(|f(x)| \lt M\)

讨论 \(f(x)\) 在 \(I\) 上的有界性：

若 \(I\) 为 \([a,b]\)，“连续函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上必有界” 若 \(I\) 为 \((a,b)\)，则需满足条件： \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内连续 \(\lim_{x \to a^+}f(x)\) 存在 \(\lim_{x \to b^-}f(x)\) 存在 若 \(\lim_{x \to ?} f(x)\) 不存在，看能否将 \(f(x)\)拆分为有限个有界函数相加或相乘 \(有界\pm 有界 = 有界\) \(有界 \times 有界 = 有界\)

2.3 局部保号性

若 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = A \gt 0\)，则 \(x \to x_0\) 时，\(f(x) \gt 0\)

推论：若 \(\exists \delta \gt 0\)，\(0 \lt |x-x0| \lt \delta\) 时，\(f(x) \ge 0\)，则 $ \lim_{x \to x_0} f(x) = A \ge 0$

三、洛必达法则

\[\lim_{x \to ?} \frac{f(x)}{g(x)} \xlongequal [\frac{\infty}{\infty}] {\frac{0}{0}} \lim_{x \to ?} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]

四、泰勒公式

\(x \to 0\)时，

\[\sin{x} = x - \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)\] \[\cos{x} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4)\] \[\tan{x} = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\] \[\arcsin{x} = x + \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)\] \[\arctan{x} = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)\] \[\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} +o(x^4)\] \[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... +\frac{x^n}{n!}\] \[\frac{1}{1-x} = 1 +x +x^2 + ... + x^n ,\,(|x| \lt 1)\] \[(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 +o(x^2)\] \[\sqrt{1+x} = 1+ \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + o(x^2)\]

五、常用等价无穷小

\[\lim_{x \to 0} \frac{A}{B} = 1 \iff A \sim B\]

\(e^x-1 \sim x\)\(\ln(1+x) \sim x\)\(\sin{x} \sim x\)\(x - \sin{x} \sim \frac{1}{6}x^3\)\(\arcsin{x} \sim x\)$x - \arcsin{x} \sim -\frac{1}{6}x^3 $\(\tan{x} \sim x\)\(x - \tan{x} \sim -\frac{1}{3}x^3\)\(\arctan{x} \sim x\)\(x - \arctan{x} \sim \frac{1}{3}x^3\)\(1-\cos{x} \sim \frac{1}{2}x^2\)\(x^2-sin^2{x} \sim \frac{1}{3}x^4\)\((1+x)^{\alpha}-1 \sim \alpha x\)\(x+\sin{x} \sim 2x\)

六、函数极限的计算

6.1 化简先行（等价无穷小替换、恒等变形、消去更高阶无穷小）

\(Term + Term \iff Term \cdot Term\)

通过构造项累乘、创造分母通分，将式子最终化简为 \(\frac{A}{B}\) 类型 设置分母为简单因式，可使求导结果简单（简单：\(x^{\alpha}\)、\(e^{\beta x}\)；复杂：\(\ln{x}\)、\(\arcsin{x}\)、\(\arctan{x}\)） 同类间比较，保留主要因素 略 高阶无穷小、低阶无穷大

6.2 判别类型（\(\frac{0}{0}\)、\(\frac{\infty}{\infty}\)、\(\infty \cdot 0\)、\(\infty-\infty\)、\(\infty^0\)、\(0^0\)、\(1^{\infty}\)）

\(u^v = e^{v \ln{u}}\)

6.3 使用工具（换元法、洛必达法则、泰勒展开相消）

泰勒展开相消时，注意保持分式上下同阶

6.4 注意条件（总结错误点）

利用题目已给数值条件或关系条件

七、数列极限的计算

若 \(x_n\) 易于连续化，转换为函数极限计算 若 \(x_n\) 不易于连续化，用 “夹逼准则”（或定积分定义）

若 \(\{x_n\}\) 由递推式 \(x_n = f(x_{n-1})\) 给出，用“单调有界准则”

单调有界准则：若 \(x_n\) 单调，且 有界，则 \(\lim_{n \to \infty}\) 存在， \(x_n\) 收敛 判断单调：$x_{n+1}-x_n \overset{?}{=} 0 $ 或 \(\frac{x_{n+1}}{x_n} \overset{?}{=} 1\) 常用数学归纳法 求上下界：放缩法

八、函数的连续

若 \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)，则称 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续

而由函数极限存在条件（即左右极限存在且相等）可推之，

函数连续的充要条件： $ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0) $

九、函数的间断

设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 点的某去心邻域内有定义（前提）

第一类间断点（ $ \lim_{x \to x_0^-} f(x)$ 和 $ \lim_{x \to x_0^+} f(x)$均存在） 跳跃间断点： $ \lim_{x \to x_0^-} f(x) \ne \lim_{x \to x_0^+} f(x)$ 如：\[\lim_{x \to 0} \text{sgn}x\] 可去间断点： $ \lim_{x \to x_0} f(x) \ne f(x_0)$ （函数在此点可无定义） 如：\[\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1}\] 第二类间断点（ $ \lim_{x \to x_0^-} f(x)$ 和 $ \lim_{x \to x_0^+} f(x)$ 至少有一个不存在） 无穷间断点：\(\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty\) 如：\[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tan{x}\] 振荡间断点：\(\lim_{x \to x_0} f(x)\) 振荡不存在 如：\[\lim_{x \to 0} \sin{\frac{1}{x}}\]