要点

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。

将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。

 

归并排序的基本思想

将待排序序列R[0...n-1]看成是n个长度为1的有序序列，将相邻的有序表成对归并，得到n/2个长度为2的有序表；将这些有序序列再次归并，得到n/4个长度为4的有序序列；如此反复进行下去，最后得到一个长度为n的有序序列。

综上可知：

归并排序其实要做两件事：

（1）“分解”——将序列每次折半划分。

（2）“合并”——将划分后的序列段两两合并后排序。

 

我们先来考虑第二步，如何合并？

在每次合并过程中，都是对两个有序的序列段进行合并，然后排序。

这两个有序序列段分别为 R[low, mid] 和 R[mid+1, high]。

先将他们合并到一个局部的暂存数组R2中，带合并完成后再将R2复制回R中。

为了方便描述，我们称 R[low, mid] 第一段，R[mid+1, high] 为第二段。

每次从两个段中取出一个记录进行关键字的比较，将较小者放入R2中。最后将各段中余下的部分直接复制到R2中。

经过这样的过程，R2已经是一个有序的序列，再将其复制回R中，一次合并排序就完成了。

核心代码

public  void Merge( int[] array,  int low,  int mid,  int high) {      int i = low;  //  i是第一段序列的下标      int j = mid + 1;  //  j是第二段序列的下标      int k = 0;  //  k是临时存放合并序列的下标      int[] array2 =  new  int[high - low + 1];  //  array2是临时合并序列      //  扫描第一段和第二段序列，直到有一个扫描结束      while (i <= mid && j <= high) {          //  判断第一段和第二段取出的数哪个更小，将其存入合并序列，并继续向下扫描          if (array[i] <= array[j]) {             array2[k] = array[i];             i++;             k++;         }  else {             array2[k] = array[j];             j++;             k++;         }     }      //  若第一段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列      while (i <= mid) {         array2[k] = array[i];         i++;         k++;     }      //  若第二段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列      while (j <= high) {         array2[k] = array[j];         j++;         k++;     }      //  将合并序列复制到原始序列中      for (k = 0, i = low; i <= high; i++, k++) {         array[i] = array2[k];     } }

掌握了合并的方法，接下来，让我们来了解    如何分解。

在某趟归并中，设各子表的长度为gap，则归并前R[0...n-1]中共有n/gap个有序的子表：R[0...gap-1], R[gap...2*gap-1], ... , R[(n/gap)*gap ... n-1]。

调用Merge将相邻的子表归并时，必须对表的特殊情况进行特殊处理。

若子表个数为奇数，则最后一个子表无须和其他子表归并（即本趟处理轮空）：若子表个数为偶数，则要注意到最后一对子表中后一个子表区间的上限为n-1。 

核心代码

public  void MergePass( int[] array,  int gap,  int length) {      int i = 0;      //  归并gap长度的两个相邻子表      for (i = 0; i + 2 * gap - 1 < length; i = i + 2 * gap) {         Merge(array, i, i + gap - 1, i + 2 * gap - 1);     }      //  余下两个子表，后者长度小于gap      if (i + gap - 1 < length) {         Merge(array, i, i + gap - 1, length - 1);     } } public  int[] sort( int[] list) {      for ( int gap = 1; gap < list.length; gap = 2 * gap) {         MergePass(list, gap, list.length);         System.out.print("gap = " + gap + ":\t");          this.printAll(list);     }      return list; }

算法分析

归并排序算法的性能

排序类别

排序方法

时间复杂度

空间复杂度

稳定性

复杂性

平均情况

最坏情况

最好情况

归并排序

归并排序

O(nlog2n)

O(nlog2n)

O(nlog2n)

O(n)

稳定

较复杂

 

时间复杂度

归并排序的形式就是一棵二叉树，它需要遍历的次数就是二叉树的深度，而根据完全二叉树的可以得出它的时间复杂度是O(n*log2n)。

 

空间复杂度

由前面的算法说明可知，算法处理过程中，需要一个大小为n的临时存储空间用以保存合并序列。

 

算法稳定性

在归并排序中，相等的元素的顺序不会改变，所以它是稳定的算法。

 

归并排序和堆排序、快速排序的比较

若从空间复杂度来考虑：首选堆排序，其次是快速排序，最后是归并排序。

若从稳定性来考虑，应选取归并排序，因为堆排序和快速排序都是不稳定的。

若从平均情况下的排序速度考虑，应该选择快速排序。 

完整参考代码

Java版本

 1  package notes.javase.algorithm.sort;  2   3  public  class MergeSort {  4      public  void Merge( int[] array,  int low,  int mid,  int high) {  5          int i = low;  //  i是第一段序列的下标  6           int j = mid + 1;  //  j是第二段序列的下标  7           int k = 0;  //  k是临时存放合并序列的下标  8           int[] array2 =  new  int[high - low + 1];  //  array2是临时合并序列  9  10           //  扫描第一段和第二段序列，直到有一个扫描结束 11           while (i <= mid && j <= high) { 12              //  判断第一段和第二段取出的数哪个更小，将其存入合并序列，并继续向下扫描 13               if (array[i] <= array[j]) { 14                 array2[k] = array[i]; 15                 i++; 16                 k++; 17             }  else { 18                 array2[k] = array[j]; 19                 j++; 20                 k++; 21             } 22         } 23  24          //  若第一段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列 25           while (i <= mid) { 26             array2[k] = array[i]; 27             i++; 28             k++; 29         } 30  31          //  若第二段序列还没扫描完，将其全部复制到合并序列 32           while (j <= high) { 33             array2[k] = array[j]; 34             j++; 35             k++; 36         } 37  38          //  将合并序列复制到原始序列中 39           for (k = 0, i = low; i <= high; i++, k++) { 40             array[i] = array2[k]; 41         } 42     } 43  44      public  void MergePass( int[] array,  int gap,  int length) { 45          int i = 0; 46  47          //  归并gap长度的两个相邻子表 48           for (i = 0; i + 2 * gap - 1 < length; i = i + 2 * gap) { 49             Merge(array, i, i + gap - 1, i + 2 * gap - 1); 50         } 51  52          //  余下两个子表，后者长度小于gap 53           if (i + gap - 1 < length) { 54             Merge(array, i, i + gap - 1, length - 1); 55         } 56     } 57  58      public  int[] sort( int[] list) { 59          for ( int gap = 1; gap < list.length; gap = 2 * gap) { 60             MergePass(list, gap, list.length); 61             System.out.print("gap = " + gap + ":\t"); 62              this.printAll(list); 63         } 64          return list; 65     } 66  67      //  打印完整序列 68       public  void printAll( int[] list) { 69          for ( int value : list) { 70             System.out.print(value + "\t"); 71         } 72         System.out.println(); 73     } 74  75      public  static  void main(String[] args) { 76          int[] array = { 77                 9, 1, 5, 3, 4, 2, 6, 8, 7 78         }; 79  80         MergeSort merge =  new MergeSort(); 81         System.out.print("排序前:\t\t"); 82         merge.printAll(array); 83         merge.sort(array); 84         System.out.print("排序后:\t\t"); 85         merge.printAll(array); 86     } 87 } View Code

运行结果 

排序前:     9   1   5   3   4   2   6   8   7   gap = 1:   1   9   3   5   2   4   6   8   7   gap = 2:   1   3   5   9   2   4   6   8   7   gap = 4:   1   2   3   4   5   6   8   9   7   gap = 8:   1   2   3   4   5   6   7   8   9   排序后:     1   2   3   4   5   6   7   8   9  

参考资料

《数据结构习题与解析》（B级第3版） 

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