C++学习笔记-----用位运算实现加减乘除

数据在计算机内存中是以二进制存储的。 几种常用的位运算：

与运算&： 对应位均为1时为1，其它为0。或运算|： 对应位均为0时为0，其它为1。异或运算^： 对应位不相同时为1，相同时为0.按位取反~： 每一位取反右移>>: 将二进制进行右移，低位丢掉，高位补零。左移<<： 将二进制进行左移，低位补零，高位丢掉。

加法

以0111 + 0101为例，观察异或运算和与运算的结果

0111 ^ 0101 = 0010; //结果的每一位等于对应位相加模二，刚好是不带进位的加法结果。 0111 & 0101 = 0101; //结果的1表示对应位相加为2，0表示对应位相加小于二，刚好是进位标识。

又因为进位是向高位进位，也就是说如果第二位是1，则表示在计算过程中要向第三位进位，所以可以将与运算结果左移一位后和异或运算的结果做加法。 代码如下：

int add(int a, int b) { return (b == 0) ? a : add(a ^ b, (a & b) << 1); /* if(b == 0) return a; else return add(a ^ b, (a & b) << 1); //异或结果 + 与运算结果左移一位 */ }

减法

减法和加法相同，减去一个数相当于加上这个数的相反数，所以完全可以利用加法操作，唯一需要做的就是求出被减数的相反数。 求相反数的方法：每一位取反，末位加一。 代码如下：

//求n的相反数 //~：按位取反 //add：加法操作，末位加一 int negtive(int n) { return add(~n, 1); } int subtraction(int a, int b) { //加上被减数的相反数 return add(a, negtive(b)); }

乘法

平时在笔算乘法数据都是十进制的，而抛去思维定势，把数看成是二进制，也可以进行笔算乘法，像这样

根据算式可以知道，对于a * b，每次只需要将a左移一位乘上b的对应位，然后同上一次的结果做加法即可。 也就意味着当b的对应位为1时，对a左移一位然后同上一次的结果做加法。 如果b的对应位为0，只对a左移一位。 当然，上述这些运算不包括符号位，所以两个操作数都需要先转换成正数，符号需要单独考虑。对于4个字节（32位整数）来说，获取符号位只需要取出第31位的值即可。

代码如下：

//取出符号位 int getSign(int n) { return n >> 31; } //求n的绝对值 int positive(int n) { return (getSign(n) & 1) ? negtive(n) : n; } int multiply(int a, int b) { //如果两个数符号位不相容，则结果为负 bool isNegtive = false; if(getSign(a) ^ getSign(b)) isNegtive = true; a = positive(a); b = positive(b); int res = 0; while(b | 0) { //当b的对应位是1时，才需要加a if(b & 1) res = add(res, a); a = a << 1; //a左移 b = b >> 1; //b右移 } return isNegtive == true ? negtive(res) : res; }

除法

同乘法一样，除法也可以进行二进制笔算，以a / b为例，只有当a >= b时才可以上商，又因为是二进制，所以商每次只会多1，在每次上1之后a都要减去一次b。代码如下：

int divide(int a, int b) { //被除数不能为0 if(b == 0) throw std::runtime_error("Divided can't be zero..."); bool isNegtive = false; if(getSign(a) ^ getSign(b)) isNegtive = true; a = positive(a); b = positive(b); int res = 0; while(a >= b) { res = add(res, 1); a = subtraction(a, b); } return beNegtive == true ? negtive(res) : res; }