归并排序

归并排序步骤的划分 - 划分问题：把序列分成元素个数尽量相等的两半 - 递归求解：把两边的元素分别排序 - 合并问题：把两半的有序表合并成一个 从第三步描述可以知道当执行到第三步的时候两边的元素已经局部有序了。接下来要做的就是合并两边的元素；

归并排序代码

/* A 是待排序数组； x，y代表待排序的区间； T是辅助数组；区间表示：[x,y); */ void merge_sort(int * A, int x, int y, int *T) { if (y - x > 1)//递归出口 { int m = x + ((y - x) >> 1);//注意>>优先级 int p = x, q = m, i = x; merge_sort(A, x, m, T);//递归左半部分 merge_sort(A, m, y, T);//递归右半部分 while (p < m || q < y)//合并两部分至T辅助数组 { if (q >= y || (p < m && A[p] <= A[q])) T[i++] = A[p++]; else T[i++] = A[q++]; } for (int i = x; i < y; i++)//将辅助数组的修改复制到数据数组 A[i] = T[i]; } }

逆序对

给定一列数A[1,2,…..,n]，求满足i(小于)j但Ai>Aj的有序对(i,j)的个数。

可以嵌套两个循环枚举所有的(i,j)；但是当A数组的元素个数很大的时候就需要利用更高效的算法，而归并排序在第三步可以利用。只需要在T[i++] = A[q++];句中加一句至T[i++] = A[q++], cnt += m - p；就可以达到统计的目的；

具体原理可以当(q >= y || (p < m && A[p] <= A[q]))该条件为false的时候A[p] > A[q]或后半部分已经没了，而前半部分和后半部分已经局部有序，所以如果A[p] > A[q]的时候，A[p+1]>A[q]也成立；所以可以直接利用cnt+=m-p统计j = q时i的个数。

示例代码

/* problem：逆序对nlogn算法建立在归并排序的基础上，所以先介绍一下归并排序，当归并排序弄明白后再看逆序对的nlogn实现 author：zxz time： memory： */ #include <iostream> #include <stdlib.h> #include <stdio.h> #include <algorithm> #include <map> #include <set> #include <stack> #include <math.h> #include <queue> #include <string> #include <sstream> #include <vector> #include <string.h> #include <time.h> using namespace std; const int maxn = 111; const int INF = 111; int cnt = 0; void init() { cnt = 0; } /* A 是待排序数组； x，y代表待排序的区间； T是辅助数组；区间表示：[x,y); */ void merge_sort(int * A, int x, int y, int *T) { if (y - x > 1) { int m = x + ((y - x) >> 1); int p = x, q = m, i = x; merge_sort(A, x, m, T); merge_sort(A, m, y, T); while (p < m || q < y) { if (q >= y || (p < m && A[p] <= A[q])) T[i++] = A[p++]; else T[i++] = A[q++], cnt += m - p; } for (int i = x; i < y; i++) A[i] = T[i]; } } void solve() { int A[maxn], b[maxn]; int n; while (scanf("%d", &n) != EOF) { init();//初始化； for (int i = 0; i < n; i++) { scanf("%d", &A[i]); } merge_sort(A, 0, n, b); for (int i = 0; i < n; i++) { printf("%d ", A[i]); } printf("%d", cnt); } } int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("cin.txt", "r", stdin); //freopen("cout.txt", "w", stdout); int mao = clock(); #endif solve(); #ifndef ONLINE_JUDGE cerr << "Time:" << clock() - mao << "ms" << endl; #endif return 0; }