二叉树的定义
二叉树是由 n ( n ≥0 ) 个结点组成的有限集 合，该集合或者为空，或者是由一个根结点加 上两棵分别称为左子树和右子树的、互不相交 的二叉树组成。
定义1：满二叉树 (Full Binary Tree) 如果二叉树中所有分支结点的度数都为2，且叶子结点都在同一层次上，则称这类二叉树为满二叉树。 定义2：完全二叉树 (Complete Binary Tree) 如果一棵具有n个结点的高度为k的二叉树，它的每一个结点都与高度为k的满二叉树中编号为1—n的结点一一对应，则称这棵二叉树为完全二叉树。（从上到下从左到右编号）。
完全二叉树的叶结点仅出现在最下面两层 最下层的叶结点一定出现在左边 倒数第二层的叶结点一定出现在右边 完全二叉树中度为1的结点只有左孩子 同样结点数的二叉树，完全二叉树的高度最小
性质1： 在二叉树的第 i层最多有 2i-1个结点。(i ≥ 1) • 第一层最多有 21-1=1 个结点。 • 第二层最多有 22-1=2=2 个结点。 • 第三层最多有 23-1=4=4 个结点。 • ……
性质2： 深度为 k的二叉树最多有 2k-1个结点。(k ≥ 0) • 如果有一层，最多有 1=1=21-1=1 个结点。 • 如果有两层，最多有 1+2=22-1=3 个结点。 • 如果有三层，最多有 1+2+4=23-1=7 个结点。 • ……
性质3 对任何一棵二叉树，如果其叶结点有 n0个，度为2的非叶结点有 n2个，则有 n0＝n2＋1。 证明：假设二叉树中度1的结点有 n1个且总结点为 n个，则： n = n0 + n1 + n2 假设二叉树中连接父结点与子结点间的边为e条，则： e = n1 + 2n2 = n – 1 所以： n0＝n2＋1。
性质4 具有n个结点的完全二叉树的高度为 log2n + 1 。 证明：假设这 n 个结点组成的完全二叉树高度为 k ，则： 2k-1-1 ＜ n ≤ 2k-1 因为 n 为整数，所以： 2k-1 ≤ n ＜ 2k 取对数： k-1 ≤ log2n ＜ k 因为k为整数，所以： k= log2n + 1
性质5 一棵有n个结点的二叉树（高度为log2n+ 1），按层次对结点进行编号（从上到下，从左到右），对任意结点i有： • 如果如果 i = 1 ，则结点i是二叉树的根 • 如果如果 i > 1 ，则其双亲结点为 i/2 • 如果如果 2i <= n ，则结点 i 的左孩子为2i • 如果如果 2i > n ，则结点 i无左孩子 • 如果如果 2i+1 <= n ，则结点 i 的右孩子为 2i+1 • 如果如果 2i+1 > n ，则结点 i无右孩子
下面是关于二叉树的基本操作
#include "BTree.h" #include <stdlib.h> #include <stdio.h> BTree *Create_BTree() { BTree *btree = (BTree*)malloc(sizeof(BTree)/sizeof(char)); if (btree == NULL) return NULL; btree->count = 0; btree->root = NULL; return btree; } int Btree_Insert(BTree *tree, BTreeData data, int pos, int count, int flag) { if (tree == NULL || (flag != BLEFT && flag != BRIGHT)) return FALSE; BTreeNode *node = (BTreeNode*)malloc(sizeof(BTreeNode)/sizeof(char)); if (node == NULL) return FALSE; node->data = data; node->lchild = NULL; node->rchild = NULL; // 找插入的位置 BTreeNode *parent = NULL; BTreeNode *current = tree->root; // current 一开始指向根节点，根节点的父节点是空 int way; // 保存当前走的位置 while (count > 0 && current != NULL) { way = pos & 1; // 取出当前走的方向 pos = pos >> 1; // 移去走过的路线 // 因为当前位置就是走完以后的位置的父节点 parent = current; if (way == BLEFT) // 往左走 current = current->lchild; else current = current->rchild; count--; } // 把被替换掉的结点插入到新节点下面 if (flag == BLEFT) node->lchild = current; else node->rchild = current; // 把新节点插入到二叉树中,way保存了应该插入在父节点的左边还是右边 if (parent != NULL) { if (way == BLEFT) parent->lchild = node; else parent->rchild = node; } else { tree->root = node; // 替换根节点 } tree->count ++; return TRUE; } void r_display(BTreeNode* node, Print_BTree pfunc,int gap) { int i; if (node == NULL) { for (i = 0; i < gap; i++) { printf ("-"); } printf ("\n"); return; } for (i = 0; i < gap; i++) { printf ("-"); } // 打印结点 // printf ("%c\n", node->data); pfunc (node); if (node->lchild != NULL || node->rchild != NULL) { // 打印左孩子 r_display (node->lchild, pfunc, gap+4); // 打印右孩子 r_display (node->rchild, pfunc, gap+4); } } void Display (BTree* tree, Print_BTree pfunc) { if (tree == NULL) return; r_display(tree->root, pfunc, 0); } void r_delete (BTree *tree, BTreeNode* node) { if (node == NULL || tree == NULL) return ; // 先删除左孩子 r_delete (tree, node->lchild); // 删除右孩子 r_delete (tree, node->rchild); free (node); tree->count --; } int Delete (BTree *tree, int pos, int count) { if (tree == NULL) return FALSE; // 找结点 BTreeNode* parent = NULL; BTreeNode* current = tree->root; int way; while (count > 0 && current != NULL) { way = pos & 1; pos = pos >> 1; parent = current; if (way == BLEFT) current = current->lchild; else current = current->rchild; count --; } if (parent != NULL) { if (way == BLEFT) parent->lchild = NULL; else parent->rchild = NULL; } else { tree->root = NULL; } // 释放结点 r_delete (tree, current); return TRUE; } int r_height (BTreeNode *node) { if (node == NULL) return 0; int lh = r_height (node->lchild); int rh = r_height (node->rchild); return (lh > rh ? lh+1 : rh+1); } int BTree_Height (BTree *tree) { if (tree == NULL) return FALSE; int ret = r_height(tree->root); return ret; } int r_degree (BTreeNode * node) { if (node == NULL) return 0; int degree = 0; if (node->lchild != NULL) degree++; if (node->rchild != NULL) degree++; if (degree == 1) { int ld = r_degree (node->lchild); if (ld == 2) return 2; int rd = r_degree (node->rchild); if (rd == 2) return 2; } return degree; } int BTree_Degree (BTree *tree) { if (tree == NULL) return FALSE; int ret = r_degree(tree->root); return ret; } int BTree_Clear (BTree *tree) { if (tree == NULL) return FALSE; Delete (tree, 0, 0); // 删除根节点 tree->root = NULL; return TRUE; } int BTree_Destroy (BTree **tree) { if (tree == NULL) return FALSE; BTree_Clear(*tree); free (*tree); *tree = NULL; return TRUE; } void pre_order (BTreeNode *node) { if (node == NULL) return; printf ("L", node->data); pre_order (node->lchild); pre_order (node->rchild); } void mid_order (BTreeNode *node) { if (node == NULL) return; mid_order (node->lchild); printf ("L", node->data); mid_order (node->rchild); } void last_order (BTreeNode *node) { if (node == NULL) return; last_order (node->lchild); last_order (node->rchild); printf ("L", node->data); }
