ACM模版
描述
题解
题意是求
ans=∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j) is prime]
很明显是莫比乌斯反演的问题，首先我们设
f(d)=∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=d]
所以
ans=∑d is primef(d)
接着我们设
g(d)=∑i=1n∑j=1m[d|gcd(i,j)]
可以进一步转换为
g(d)=⌊nd⌋∗⌊md⌋
所以
f(d)=∑i=1⌊nd⌋g(d∗i)∗μ(i)
继而
ans=∑d is prime∑i=1⌊nd⌋⌊nd∗i⌋∗⌊md∗i⌋∗μ(i)
设
t=d∗i
最终可以化为
ans=∑t=1n⌊nt⌋∗⌊mt⌋∗∑d|t,d is primeμ(td)
最后问题也就变成了一个和
t
<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1578">t</script> 有关的公式了，我们只需要预处理一下，然后分块儿搞就好了。
代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN =
5e6 +
10;
ll ans;
int n, m;
ll a[MAXN];
int pri[MAXN];
int miu[MAXN];
bool bz[MAXN];
void init()
{
miu[
1] =
1;
for (
int i =
2; i < MAXN; i++)
{
if (!bz[i])
{
pri[++pri[
0]] = i;
miu[i] = -
1;
}
for (
int j =
1; j <= pri[
0]; j++)
{
int k = i * pri[j];
if (k > MAXN)
{
break;
}
bz[k] =
1;
if (!(i % pri[j]))
{
break;
}
miu[k] = -miu[i];
}
}
for (
int i =
1; i <= pri[
0]; i++)
{
int tmp = MAXN / pri[i];
for (
int j =
1; j <= tmp; j++)
{
a[pri[i] * j] += miu[j];
}
}
for (
int i =
1; i < MAXN; i++)
{
a[i] += a[i -
1];
}
}
int main()
{
init();
int T;
scanf(
"%d", &T);
while (T--)
{
scanf(
"%d%d", &n, &m);
ans =
0;
if (n > m)
{
swap(n, m);
}
for (
int l =
1, r; l <= n; l = r +
1)
{
r = min(n / (n / l), m / (m / l));
ll sum = (ll)(n / l) * (m / l);
ans += sum * (a[r] - a[l -
1]);
}
printf(
"%lld\n", ans);
}
return 0;
}
