定理3.1:
圆 x2+y2=1 上的坐标是有理数的点都可以由公式： (x,y)=(1−m21+m2,2m1+m2) 得到，其中 m 取有理数值.（点(−1,0)例外，这个当 m→∞ 时的极限值 ）。习题解析： 1. (a) 如果 u 和v有公因数，假设 d|u 且 d|v ，那么显然会有 d|a,d|b,d|c， 所以 (a,b,c) 不是本原勾股数组。 (b) 是否存在 u 和v没有公因数 (u>0,v>0) ，但是该三元组 (u2−v2,2uv,u2+v2) 不是本原的。如果要让 d|a,d|b,d|c ，又要让 d 不被u或 v 整除，那么只有让d=2， v 和u是奇数，那么显然 a 和c是偶数， 2uv 也是偶数，例如 (6,8,10), 此时 u=3,v=1. (c) 自己打表。 (d) 打表可以发现，当 u 和v互质且 u 和v一奇一偶时， (a,b,c) 是本原的。 (e) 证明： u=2k+1,v=2t u2+v2=4k2+4k+1+4t2 2uv=2∗2t(2k+1) u2−v2=4k2+4k+1−4t2 反证： 设 (u2−v2,2uv,u2−v2) 不是本原的，即存在d d!=1且d不能整除u或v d|(4k2+4k+1+4t2)..................1 d|2∗2t(2k+1).........................2 d|(4k2+4k+1−4t2)...................3 如果 d来自2 ，那么显然与 1 式和3式矛盾。 如果 d 来自2t，那么 d 不整除u，与 1 式和3式矛盾。 同理如果 d 来自(2k 1)，与 1 式和3式矛盾 所以当 u 和v一奇一偶且互质时， (u2−v2,2uv,u2−v2) 才是本原的。
2. (a) (v2−2uv−u2u2+v2,u2−2uv+v2u2+v2) (b)如果用相同的方法求圆 x2+y2=3 上所有坐标为有理数的点，那么会发现没有一个坐标为有理数值点能够作为基准点，也就是不能找到能起到像 x2+y2=2 中的点 (1,1) ， x2+y2=1 中的点 (−1,0) 这种作用的点。
3.答案： (u2+v2u2−v2,2uvu2−v2) 。 用双曲线的方法也能推出勾股数组的通项公式，这是因为把公式变形为 (ca)2−(ba)2=1， 就可以用双曲线求解了。得到这个答案后将分母约去，就可以求出 a 了。
4.对于y2=x3 8 上有2个点为： (1,−3),(−74,138) 。 第三个解为： (433121,97651331) ，这个是有理数吗？….翻译有错吧….
