( n m ) ≡ ( ⌊ n p ⌋ ⌊ m p ⌋ ) ⋅ ( n % p m % p ) m o d    p \dbinom n m\equiv \dbinom{\lfloor\dfrac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\dfrac{m}{p}\rfloor}·\dbinom{n\% p}{m\%p} \ \mod p (mn)≡(⌊pm⌋⌊pn⌋)⋅(m%pn%p) modp
设模数为 P ( P = p 1 k 1 p 2 k 2 . . . p n k n ) , p i P(P=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_n^{k^n}),p_i P(P=p1k1p2k2...pnkn),pi为互不相同的质数。 首先分别求出 x i = ( n m ) m o d    p i k i x_i=\dbinom n m\mod p_i^{k_i} xi=(mn)modpiki。 问题便转换成了求解： x ≡ x i m o d    p i k i x\equiv x_i\mod p_i^{k_i} x≡ximodpiki。套用CRT解决。
那么问题在于如何快速求出所有的 ( n m ) m o d    p i k i \dbinom n m\mod p_i^{k_i} (mn)modpiki。
当 k i = 1 k_i=1 ki=1时，套用LUCAS。
当 k i > 1 k_i>1 ki>1时， ( n m ) = n ! m ! ( n − m ) ! \dbinom n m=\dfrac{n!}{m!(n-m)!} (mn)=m!(n−m)!n!无法对质数的次幂快速取模，考虑分别对 n ! , m ! , ( n − m ) ! n!,m!,(n-m)! n!,m!,(n−m)!进行拆分取模，最终答案即为 n ! × i n v ( m ! , p i k i ) × i n v ( ( n − m ) ! , p i k i ) n!\times inv(m!,p_i^{k_i})\times inv((n-m)!,p_i^{k_i}) n!×inv(m!,piki)×inv((n−m)!,piki)( i n v ( x , p ) inv(x,p) inv(x,p)表示 x x x在模 p p p意义下的逆元，exgcd求解)。
拆分取模方式如下：
假设当前 p i = 3 , k i = 2 , P = 3 2 p_i=3,k_i=2,P=3^2 pi=3,ki=2,P=32，求解 19 ! m o d    P 19!\mod P 19!modP。
19 ! = ( 1 × 2 × 4 × 5 × 7 × . . . × 14 × 16 × 17 × 19 ) × ( 3 6 ) × ( 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 ) 19!=(1\times2\times4\times5\times7\times...\times14\times16\times17\times 19)\times(3^{6})\times(1\times2\times3\times4\times5\times6) 19!=(1×2×4×5×7×...×14×16×17×19)×(36)×(1×2×3×4×5×6)
对于第一部分 1 × 2 × 4 × 5 × 7 × 8 ≡ 10 × 11 × 13 × 14 × 16 × 17 m o d    P 1\times2\times 4\times 5\times 7\times 8 \equiv10\times11\times13\times14\times16\times17\mod P 1×2×4×5×7×8≡10×11×13×14×16×17modP，等价于 ( ∏ i = 1 , i ∤ p i P − 1 i ) ⌊ n P ⌋ m o d    P (\prod\limits_{i=1,i\nmid p_i}^{P-1}i)^{\lfloor{\frac{n}{P}}\rfloor}\mod P (i=1,i∤pi∏P−1i)⌊Pn⌋modP，剩余的数必然少于 P P P个，而将右边的 ⌊ n p i ⌋ ! \lfloor{\frac{n}{p_i}}\rfloor! ⌊pin⌋!递归下去求解即可。
