文章目录

非齐次状态方程的解——控制工程的受控运动直接法拉氏变换法例题1例题2 线性时变系统的运动分析线性时变齐次状态方程的解状态转移矩阵的计算-级数近似法例题：例题 线性时变齐次状态方程的解例题

非齐次状态方程的解——控制工程的受控运动

当线性定常系统 $$\{\begin{array}{c}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array},x(t_0)=x(0)$$的外加输入函数$u(t)̸=0$时，$u(t)$作用下的运动称为可控系统的受控运动。此时状态方程为非齐次矩阵微分方程，即 $$\dot{x}=Ax+Bu,x(t){|}_{t=t_0}=x(t_0),B̸=0$$ 式中，x为n维状态向量，u为r维输入向量，A为n*n常系数矩阵，B为n*r常系数矩阵。 求解非齐次状态方程的方法和求解齐次状态方程的方法一致，即 直接法和 拉氏变换法。

直接法

直接法就是按照常数方程求解微分方程的办法来。 改写方程形式为： $\dot{x}-Ax=Bu$ 上式两边同时左乘$e^{-At}$得： $e^{-At}[\dot{x}-Ax]=e^{-At}Bu$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[e^{-At}x]=e^{-At}Bu$ 对两边的式子进行积分， ${\int }_{t_0}^t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau }[e^{-A\tau }x(\tau )]\mathrm{d}\tau ={\int }_{t_0}^t{e}^{-A\tau }Bu(\tau )\mathrm{d}\tau$ 可得：$e^{-At}x(t)-e^{-A{t}_0}x(t_0)={\int }_{t_0}^t{e}^{-A\tau }Bu(\tau )\mathrm{d}\tau$ 所以：$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+{\int }_{t_0}^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )\mathrm{d}\tau$ 用状态转移矩阵表示为： $$x(t)=\varphi (t,t_0)x(t_0)+{\int }_{t_0}^t\varphi (t,\tau )Bu(\tau )\mathrm{d}\tau$$ 等式右边是两项相加，前一项是初始状态引起的响应，即零输入响应。后一项是输入引起的响应,零状态响应。

上式表明非齐次状态方程的解包含两部分： ①由初始状态引起的状态转移分量，这是自由运动结果； ②由控制作用引起的受控分量，它是受控运动（或称强迫运动）的结果。

拉氏变换法

对齐次状态方程组两边进行拉氏变换得： $sX(s)-X(0)=AX(s)+BU(s)$ $\Rightarrow (sI-A)X(s)=X(0)+BU(s)$ $\Rightarrow X(s)=(sI-A{)}^{-1}X(0)+(sI-A{)}^{-1}BU(s)$ 再进行拉式反变换得： $x(t)=L^{-1}[(sI-A{)}^{-1}]x(0)+L^{-1}[(sI-A{)}^{-1}BU(s)]$ 由方程解的唯一性(直接法和拉式变换法的结果是一致的)可得到： $e^{A(t-t_0)}=L^{-1}[(sI-A{)}^{-1}]$ ${\int }_{t_0}^t\varphi (t,\tau )Bu(\tau )\mathrm{d}\tau =L^{-1}[(sI-A{)}^{-1}BU(s)]$ 若$y(t)=Cx(t)+Du(t)$，并且初始时刻为$t_0$ 则输出为： $y(t)=C{e}^{A(t-t_0)}x(t_0)+C{\int }_{t_0}^t\varphi (t,\tau )Bu(\tau )\mathrm{d}\tau +Du(t)$

例题1

这里可以有多种方法求矩阵指数函数，包括定义法根据级数求以及拉式变换法等方法，见 https://blog.csdn.net/weijifen000/article/details/83099396#_58 。

例题2

对于典型输入信号，如单位脉冲、单位阶跃、单位速度等信号作用下，系统的响应（即非齐次状态方程的解）有以下表达式：

单位冲激信号$u(t)=\delta (t)$： $x(t)=e^{At}x(0)+e^{At}B$单位阶跃信号$u(t)=1(t)$： $x(t)=e^{At}x(0)+e^{At}B$速度信号$u(t)=t$： $x(t)=e^{At}x(0)+[A^{-2}(e^{At}-I)-A^{-1}t]B$

线性时变系统的运动分析

即系统随着时间变化。 线性时变系统方程为： $$\{\begin{array}{c}\dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)\\ y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)\end{array}$$ 如果$A(t),B(t),C(t)$的所有元素在时间区间$[t_0,+\infty ]$上均是连续函数，则对于任意初始状态$x(t_0)$和输入向量$u(t)$，系统状态方程的解存在并且唯一。

线性时变齐次状态方程的解

线性时变齐次状态方程$\dot{x}(t)=A(t)x(t)$ 其解为：$x(t)=\varphi (t,t_0)x(t_0)$ $\varphi (t,t_0)$为状态转移矩阵，具有以下性质：

满足其状态方程本身，即将线性时变齐次状态方程的解带入得到： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\varphi (t,t_0)=A(t)\varphi (t,t_0)$ 且初始条件$\varphi (t_0,t_0)=I$可逆性： ${\varphi }^{-1}(t,t_0)=\varphi (t_0,t)$传递性： $\varphi (t_2,t_1)\varphi (t_1,t_0)=\varphi (t_2,t_0)$$\varphi (t,\tau )$对第二变元$\tau$的偏导数为 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\varphi (t,\tau )=-\varphi (t,\tau )A(\tau )$

状态转移矩阵的计算-级数近似法

$$\begin{gathered} \varphi (t,t_0)=e^{{\int }_{t_0}^{t}A(\tau )\mathrm{d}\tau } \\ =I+{\int }_{t_0}^{t}A({\tau }_0)\mathrm{d}{\tau }_0+{\int }_{t_0}^{t}A({\tau }_0){\int }_{t_0}^{{\tau }_0}A({\tau }_1)\mathrm{d}{\tau }_1\mathrm{d}{\tau }_0 \\ +{\int }_{t_0}^{t}A({\tau }_0){\int }_{t_0}^{{\tau }_0}A({\tau }_1){\int }_{t_2}^{{\tau }_0}A({\tau }_2)\mathrm{d}{\tau }_2\mathrm{d}{\tau }_1\mathrm{d}{\tau }_0+\cdots \end{gathered}$$

例题：

当满足可交换条件时，时变系统状态转移矩阵的解可以表示为： $$\varphi (t,t_0)=e^{{\int }_{t_0}^{t}A(\tau )\mathrm{d}\tau }$$

例题

线性时变齐次状态方程的解

对于线性时变非齐次状态方程： $\dot{x}=A(t)x+B(t)u,x(t){|}_{t=0}=x(t_0)$ 其解为: $x(t)=\varphi (t,t_0)x(t_0)+{\int }_{t_0}^t\varphi (t,\tau )B(\tau )u(\tau )\mathrm{d}\tau$ 或： $x(t)=\varphi (t,t_0)[x(t_0)+{\int }_{t_0}^t\varphi (t,\tau )B(\tau )u(\tau )\mathrm{d}\tau ]$ 系统输出为： $y(t)=C(t)\varphi (t,t_0)x(t_0)+C(t){\int }_{t_0}^t\varphi (t,\tau )B(\tau )u(\tau )\mathrm{d}\tau +D(t)u(t)$ 或： $y(t)=C(t)\varphi (t,t_0)[x(t_0)+{\int }_{t_0}^t\varphi (t,\tau )B(\tau )u(\tau )\mathrm{d}\tau ]+D(t)u(t)$

例题