子空间的旋转

矩阵 $X\in {\mathbb{R}}^{n\times 3}$，其列向量张成了 n 维空间中的一个线性子空间 $V=span\{X\}=span\{x_1,x_2,x_3\}$。那么对于任意一个满秩的 3 维矩阵 $P\in {\mathbb{R}}^{3\times 3}$：$$span\{X\}=span\{XP\}$$

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证明： $$Y\triangleq XP\in {\mathbb{R}}^{n\times 3}$$ 则有$$y_j=\sum _{i=1}^3{x}_i{P}_{ij}$$ 所以$$\begin{gathered} \forall y\in span\{Y\},\exists {\alpha }_i, \\ y=\sum _{i=1}^3{\alpha }_i{y}_i \\ =\sum _{i=1}^3{\alpha }_i\sum _{j=1}^3{x}_j{P}_{ji} \\ =\sum _{j=1}^3{x}_j\sum _{i=1}^3{\alpha }_i{P}_{ji} \\ \Rightarrow y\in span\{X\}\Rightarrow span\{Y\}\subseteq span\{X\} \end{gathered}$$ 另一方面$$\begin{gathered} X=Y{P}^{-1}\triangleq YQ \\ \Rightarrow span\{X\}\subseteq span\{Y\} \end{gathered}$$ 综上 $$span\{X\}=span\{Y\}=span\{XP\}$$