【 MATLAB 】用 MATLAB 实现离散时间傅里叶变换（DTFT）的两个案例分析

先给出离散时间傅里叶变换的简单介绍：

如果 x(n) 是绝对可加的，即

那么它的离散时间傅里叶变换给出为：

w 称为数字频率，单位是每样本 rad（弧度）或 （弧度/样本）（rad/sample）

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案例1：

求 的离散时间傅里叶变换，并用MATLAB将在之间的501个等分点上求值，并画出它的幅度、相位、实部和虚部。

题解：

由于x(n)是无限长的序列，所以不能直接用MATLAB直接从x(n)得到。然而，我们可以用它对表达式在频率点上求值，然后画出它的幅度和相位（实部或虚部）。

脚本：

clc clear close all w = [0:500]*pi/500; %[0,pi] axis divided into 501 points X = exp(j*w)./( exp(j*w) - 0.5*ones(1,501) ); magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1) plot(w/pi,magX); grid; title('Magnitude Part'); xlabel('frequency in pi units');ylabel('Magnitude'); subplot(2,2,2) plot(w/pi,angX); grid; title('Angle Part') xlabel('frequency in pi units');ylabel('Radians'); subplot(2,2,3) plot(w/pi,realX); grid title('Real Part'); xlabel('frequency in pi units');ylabel('Real'); subplot(2,2,4); plot(w/pi,imagX); grid; title('Imaginary Part'); xlabel('frequency in pi units');ylabel('Imaginary');

 

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案例2：

求下面有限长序列的离散时间傅里叶变换：

在[0,pi]之间的501个等分频率上进行数值求值。

题解：

我们可以直接对上式进行MATLAB编程，但是这种方法在有限长序列的DTFT中不是太方便，我们可以直接由 x(n) 来求它的DTFT。

我们使用向量化的编程方法，最后得到一个通用的公式。推导如下：

用MATLAB实现如下：

k = [0:M]; n = [n1:n2]; X = x * (exp(-j * pi/M)).^(n'*k);

给出MATLAB脚本语言如下：

clc clear close all n = -1:3; x = 1:5; k = 0:500; w = (pi/500)*k; X = x * (exp(-j * pi/500)).^(n' * k); magX = abs(X); angX = angle(X); realX = real(X); imagX = imag(X); subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); title('Magnitude Part'); xlabel('w/pi');ylabel('Magnitude'); subplot(2,2,2); plot(w/pi,angX); title('Angle Part'); xlabel('w/pi');ylabel('Radians'); subplot(2,2,3); plot(w/pi,realX); title('Real part'); xlabel('w/pi');ylabel('Real'); subplot(2,2,4); plot(w/pi,imagX); title('Imaginary Part'); xlabel('w/pi');ylabel('Imaginary');