经典的图像去噪方法都是将噪声建模为加性高斯白噪声（AWGN），而真实图像的噪声并不严格服从AWGN。比如对于RAW图像来说，其噪声分布服从Poisson-Gaussian分布。因此，我们有两种方法来应对这种差别：
根据实际观察到的噪声分布建立新的噪声模型，以此来提出新的去噪方法；将观察到的噪声分布转化为AWGN，用现有的去噪方法处理；VST（variance stabilizing transform）就是一种将对信号依赖的噪声变为AWGN的常用方法。VST的目的就是找到一个简单的函数 f f f应用于数据 x x x，使得 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的方差与其均值无关。 VST是一个大家族，其中包括很多变换。今天介绍一种最常用到的VST变换——Anscombe transform（AT）及其推广。
Anscombe transform可以将一个服从泊松分布（Poisson distribution）的随机变量变为一个近似标准高斯分布。
对于服从泊松分布的变量 x ∼ P ( x ^ ) x\sim \mathcal{P}(\hat{x}) x∼P(x^)，其均值 m m m和方差 v v v是相互依赖的： m = v = x ^ m=v=\hat{x} m=v=x^。 x ∼ P ( x ^ ) = m x e − m x ! x\sim\mathcal{P}(\hat{x})=\frac{m^xe^{-m}}{x!} x∼P(x^)=x!mxe−m Anscombe transform f ( x ) f(x) f(x)： A : x → 2 x + 3 8 A:x\to 2\sqrt{x+\frac{3}{8}} A:x→2x+83
经过变换后，对于足够大的均值，随机变量的方差近似为1；而当均值为0时，方差仍然为0。 AT将均值为 m m m的泊松数据 x x x变为了近似均值为 2 m + 3 8 − 1 4 m 1 / 2 + O ( 1 m 3 / 2 ) 2\sqrt{m+\frac{3}{8}}-\frac{1}{4m^{1/2}}+O(\frac{1}{m^{3/2}}) 2m+83 −4m1/21+O(m3/21)，标准差为 1 + O ( 1 m 2 ) 1+O(\frac{1}{m^2}) 1+O(m21)的高斯分布。 从上图可以看出，在 m m m大于4时，这种近似可以得到很好地保证。
当在VST域做完去噪后，通过其逆变换（iVST）可以将去噪数据 y y y变回原来的域。 其代数逆为： A − 1 : y → ( y 2 ) 2 − 3 8 A^{-1}: y \to \left( \frac{y}{2} \right)^2-\frac{3}{8} A−1:y→(2y)2−83
代数逆常常会对估计的均值 m m m引入不想要的偏置， 因为正向变换中的平方根变换不是线性的。 而在成像和图像应用时，隐式映射给出了精确的无偏逆变换： E [ f ( x ) ∣ m ] = 2 ∑ x = 0 + ∞ ( x + 3 8 ⋅ m x e − m x ! ) E\left[ f(x)|m \right]=2\sum^{+\infty}_{x=0}\left( \sqrt{x+\frac{3}{8}}\cdot \frac{m^xe^{-m}}{x!} \right) E[f(x)∣m]=2x=0∑+∞(x+83 ⋅x!mxe−m)
该精确无偏逆的一个闭合形式的近似解为： y → 1 4 y 2 + 1 4 3 2 y − 1 − 11 8 y − 2 + 5 8 3 2 y − 3 − 1 8 y\to \frac{1}{4}y^2+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{3}{2}}y^{-1}-\frac{11}{8}y^{-2}+\frac{5}{8}\sqrt{\frac{3}{2}}y^{-3}-\frac{1}{8} y→41y2+4123 y−1−811y−2+8523 y−3−81
当 y y y特别大时，其渐进逆为： y → 1 4 y 2 − 1 8 y\to \frac14y^2-\frac18 y→41y2−81
许多数字成像器件的噪声可以被建模为Poisson-Gaussian noise。其中泊松部分表示传感器接受光子的不确定性，其是信号依赖的；高斯部分表示其他信号无关噪声，如热噪声等。对于观察到的每个像素值 x ^ \hat{x} x^，可以表示为： x ^ = a p + n \hat{x}=ap+n x^=ap+n
其中， p ∼ P ( y ^ / a ) p\sim \mathcal{P}(\hat{y}/a) p∼P(y^/a), n ∼ N ( m , σ ^ 2 ) n\sim \mathcal{N}(m, \hat{\sigma}^2) n∼N(m,σ^2)。因此我们可以定义Poisson-Gaussion noise为： η = x ^ − y ^ \eta = \hat{x}-\hat{y} η=x^−y^
广义Anscombe变换（generalized Anscombe transform， GAT）表示为： f ( x ^ ) = { 2 a a x ^ + 3 8 a 2 + σ ^ 2 − a m , x ^ > − 3 8 a − σ ^ 2 a + m 0 , x ^ ≤ − 3 8 a − σ ^ 2 a + m \begin{array}{ccc} f(\hat{x})=\left\{ \begin{aligned} &\frac{2}{a}\sqrt{a\hat{x}+\frac{3}{8}a^2+\hat{\sigma}^2-am}, &&\hat{x}>-\frac38a-\frac{\hat{\sigma}^2}{a}+m \\ &0, && \hat{x}\leq-\frac38a-\frac{\hat{\sigma}^2}{a}+m \\ \end{aligned} \right. \end{array} f(x^)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a2ax^+83a2+σ^2−am ,0,x^>−83a−aσ^2+mx^≤−83a−aσ^2+m
当 a = 1 , σ = 0 , m = 0 a=1, \sigma=0, m=0 a=1,σ=0,m=0时，Poisson-Gausssion分布退化为Poisson分布，GAT也退化为AT。 对上述公式中的变量做归一化： x = x ^ − m a , σ = σ ^ a x=\frac{\hat{x}-m}{a}, \sigma=\frac{\hat{\sigma}}{a} x=ax^−m,σ=aσ^
即将原变量x变为一个单位Poisson变量叠加一个均值为0，标准差为 σ \sigma σ的加性高斯白噪声。则GAT可以简化为： f σ ( x ) = { 2 x + 3 8 + σ 2 , x > − 3 8 − σ 2 0 , x ≤ − 3 8 − σ 2 \begin{array}{ccc} f_{\sigma}(x)=\left\{ \begin{aligned} &2\sqrt{x+\frac{3}{8}+\sigma^2}, &&x>-\frac38-\sigma^2 \\ &0, && x\leq-\frac38-\sigma^2 \\ \end{aligned} \right. \end{array} fσ(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x+83+σ2 ,0,x>−83−σ2x≤−83−σ2
下图是 σ = 0.01 , 1 , 2 , 3 \sigma=0.01,1,2,3 σ=0.01,1,2,3的关系曲线。从下图可以看出，当标准差 σ > 2 \sigma>2 σ>2时，变换后的方差稳定在理想值1左右。
当高斯噪声部分的标准差 σ \sigma σ比较大时，GAT的精确无偏逆变换可以近似为： A σ − 1 ≈ A − 1 − σ 2 A^{-1}_{\sigma} \approx A^{-1}-\sigma^2 Aσ−1≈A−1−σ2
其闭合形式的近似为： y → 1 4 y 2 + 1 4 3 2 y − 1 − 11 8 y − 2 + 5 8 3 2 y − 3 − 1 8 − σ 2 y\to \frac{1}{4}y^2+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{3}{2}}y^{-1}-\frac{11}{8}y^{-2}+\frac{5}{8}\sqrt{\frac{3}{2}}y^{-3}-\frac{1}{8}-\sigma^2 y→41y2+4123 y−1−811y−2+8523 y−3−81−σ2
当 σ \sigma σ或 y y y特别大时，其渐进逆为： A a s y − 1 : 1 4 y 2 − 1 8 − σ 2 A^{-1}_{asy}: \frac14y^2-\frac18-\sigma^2 Aasy−1:41y2−81−σ2
1、WIkipedia：Variance-stabilizing transformation 2、Wikipedia：Anscombe transform 3、Mäkitalo M, Foi A. Poisson-gaussian denoising using the exact unbiased inverse of the generalized anscombe transformation[C]//Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP), 2012 IEEE International Conference on. IEEE, 2012: 1081-1084. 4、Makitalo M, Foi A. Optimal inversion of the generalized Anscombe transformation for Poisson-Gaussian noise[J]. IEEE transactions on image processing, 2013, 22(1): 91-103.
