MIT 线性代数导论 第二十四讲~二十九讲的概念梳理

最后的这几讲很多是介绍一些概念以及应用和复习总结，所以简单记录下一下，不再详细展开。 主要内容有：

马尔可夫矩阵以及傅里叶级数的概念实对称矩阵以及正定矩阵的介绍相似矩阵的概念正定矩阵的概念

马尔可夫矩阵

马尔可夫矩阵（Markov Matrix） ：

首先是一个 $n$ 阶的方阵（其实在之后的几讲中，讨论的都是方阵）方阵中的每个元素都非负每一列元素的和都等于1

马尔可夫矩阵有两条重要的性质：

一定有有特征值等于1其余的所有的特征值的绝对值都小于1

傅里叶级数

对于一个 $n$ 维的向量 $v$ ，如果有一组此空间的标准正交基$(q_1,q_2,...q_n)$，则这个向量对于这组基的投影可以表示为： $$v=x_1{q}_1+x_2{q}_2+...+x_n{q}_n$$ 那么，可欧律一个问题，如果要求的其中某一个分量上的分解量，比如求 $x_i$， 那么可以将上面的式子左右同时乘以 $q_i^T$，从而得到： $$q_i^{T}v=x_1{q}_i^T{q}_1+x_2{q}_i^T{q}_2+...+x_i{q}_i^T{q}_i+...+x_n{q}_i^T{q}_n=x_i$$ ,如果使用 $Q=(q_1,q_2,...q_n)$，则 $Q$是一个正交阵，则 $(x_1,x_2,..,x_n{)}^T=Q^{-1}v$。 有了这个方法，再来看傅里叶级数，它的函数表示为： $$f(x)=a_0+a_{1}cos(x)+b_{1}sin(x)+a_{2}cos(2x)+b_{2}sin(2x)+....$$ 这里可以把每一项看作是空间的一个元素设两个函数的内积为：${\int }_0^{2\pi }f(x)g(x)d(x)$ ，可以得到，傅里叶级数中的每两项都是相互正交的，例如： $${\int }_0^{2\pi }sin(x)cos(x)d(x)=0$$ ，这里的处理跟上面的很相似，所以给我们的启发就是，如果我们要求傅里叶级数的某一项系数,a_{i},b_{i}，可以将函数进行投影，例如，求a_{1}: $${\int }_0^{2\pi }cos(x)f(x)d(x)=a_0{\int }_0^{2\pi }cos(x)dx+a_1{\int }_0^{2\pi }cos(x{)}^{2}dx+b_1{\int }_0^{2\pi }cos(x)sin(x)dx+....$$ 可以得到： $$a_1=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }cos(x)f(x)d(x)$$

实对称矩阵

对称矩阵有很多优秀的性质，所以接下来的很多概念都跟对称矩阵有关系，实对称矩阵是所有的元素都是实数的矩阵，它的主要性质如下：

所有的特征值都是实数所有的特征向量都是实向量具有 $n$ 个线性无关的特征向量所以，任意的实对称矩阵都可以表示为 $Q\Lambda Q^{-1}=Q\Lambda Q^T$的形式

正定矩阵

正定矩阵式特殊的实对称矩阵，其所有的的特征值都大于0，对应的二次型 $x^{T}Ax$ 恒大于0，判断实对称矩阵是否式正定矩阵的方法：

定义判断，是否所有的特征值都大于0从左上角开始$0-n$阶的子行列式都大于0

相似矩阵

对于两个方阵 $A,B$， 如果存在可逆矩阵 $P$，使得： $P^{-1}AP=B$，则称$B$ 是 $A$的相似矩阵，相似矩阵具有如下的性质：

相似矩阵具有相同的特征值如果矩阵$A$与对角阵相似，则对角阵中的对角线值也就是$A$ 的 $n$ 个特征值，这里也就是之前讲到过的对角化的知识。