算法（一）最大子数组问题

问题描述：

给你一个一维数组，数组值可正可负，要求得到连续子数组的最大和值，子数组的元素至少为1个。

解决方法：

暴力求解法：

通过两层for循环遍历每一种可能的组合，再通过比较得到最大的值。方法实现较为简单，但时间复杂度较高，需要O（n*n），代码如下：

class Solution { public: int maxSubArray(vector<int> & nums) { int number = nums.size(); int currentSum = 0; int max = nums[0]; //n个数则总共执行n次循环 for (int i = 0; i < number; ++i) { currentSum = 0; for (int j = i; j < number; ++j) { currentSum += nums[j]; if (currentSum > max) max = currentSum; } } return max; } };

分治法：

寻找数组的中间值，将原数组划分为左右两个部分，则最大子数组出现的可能情况有三种： 1. 在左边的子数组中 2. 在右边的子数组中 3. 最大子数组跨越左右两个子数组，则中间值middle一定包含在最大子数组中 实现代码如下： class Solution { public: int maxSubArray(vector<int> & nums) { return findMaxSubArray(nums, 0, nums.size() - 1); } int findMaxSubArray(vector<int> & nums, int left, int right) { //当只有一个值时返回该值 if (left == right) return nums[left]; int mid = (left + right) / 2; //左数组 int leftMax = findMaxSubArray(nums, left, mid); //右数组 int rightMax = findMaxSubArray(nums, mid + 1, right); //包含middle值的数组 int centerMax = findCrossMaxArray(nums, mid, left, right); //返回三者中的最大者 return findMax(leftMax, rightMax, centerMax); } int findCrossMaxArray(vector<int> & nums, int mid, int left, int right) { int leftSum = 0, rightSum = 0; int leftMax = nums[mid], rightMax = nums[mid + 1]; int i = mid, j = mid + 1; int max = 0; //左半边最大的值 for (; i >= left; --i) { leftSum += nums[i]; if (leftSum > leftMax) leftMax = leftSum; } //右半边最大的值 for (; j <= right; ++j) { rightSum += nums[j]; if (rightSum > rightMax) rightMax = rightSum; } max = leftMax + rightMax; return max; } int findMax(int a, int b, int c) { int temp = 0; if (a > b) temp = a; else temp = b; if (temp < c) temp = c; return temp; } };

这个算法的时间复杂度较暴力求解有了一定的提升。设数组的长度为n, 时间复杂度为T（n）,则时间复杂度为T（n） = 2 * T（n / 2） + 0(n)，可计算得时间复杂度为0（nlgn）。

线性时间算法

代码如下：

class Solution { public: int maxSubArray(vector<int> & nums) { int currentSum = 0; int max = nums[0]; for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) { currentSum += nums[i]; if (currentSum > max) max = currentSum; if (currentSum < 0) currentSum = 0; } return max; } }; 从第一个数开始累加，如果是正的则一直保持，负的则舍弃重新累加。max一直保留目前的最大值。

动态规划

该算法的思想是已知原数组后面部分的最大子数组nAll以及该部分最前一个元素开始的最大子数组nStart。然后再往前添加一个元素，则此时新数组的最大子数组要么是包含新元素，要么是原来的最大子数组。如果包含新元素，则是新元素本身或者是新元素加上原来的nStart的和。时间复杂度为O（n）。 代码如下：

class Solution { public: int maxSubArray(vector<int> & nums) { int nStart = nums[nums.size() - 1]; int nAll = nums[nums.size() - 1]; for (int i = nums.size() - 2; i >= 0; --i) { nStart = max(nums[i], nums[i] + nStart); nAll = max(nAll, nStart); } return nAll; } int max(int x, int y) { return (x > y) ? x : y; } };

问题应用：

如果有一张近期股票的走势图，要问你哪天买入哪天卖出能得到最大收益。此时可以转为最大子数组问题。数组元素为前后两天的股票差值。