迷宫 1

( 程序文件名： maze1. pas/c/cpp)  【问题描述】 在最新版恶魔城游戏的最后一关有一个 n*m 的迷宫，入口坐标是左上角 (1,1)，出口坐标是右下角(n，m)。迷宫中的某些小格中有面包圈，有些没有 。 为了通关，barty 和他的同伴 Bella 要吃掉尽可能多的面包圈然后同时到达出 口。 由于每一步都只可以选择向右或向下走，不能回头也不能停留，他们决定在 入口处开始分头行动，各自走不同的路径(不走相同的格子)到出口汇合。 那么我们的问题是，他们这样的策略最多能吃到多少面包圈？ 【输入文件】文件名： maze1.in 第一行两个正整数 n,m，表示迷宫的行列数 第二行一个正整数 k,表示面包圈的个数。 接下来 k 行，每行两个数，表示每个面包圈的坐标。数据保证面包圈坐标不 超出迷宫，并且保证入口(1,1)和出口(n,m)处没有面包圈。 【输出文件】文件名： maze1.out 输出 3 个数，分别表示两个人能吃到最多面包圈的个数总和，以及两人各吃 到多少个面包圈，用空格分开。如果有多个最优方案，则输出字典序最小的。 【样例输入】 4 5 5 1 3 2 1 3 1 2 5 3 3 【样例输出】

5 2 3

     作为Bella没事乱YY出的迷宫系列里的一道，这题荣兴的成为了NOIP2008传纸条问题的变种。对于原来的传纸条问题，只需要按照斜线划分阶段，经典的二取方格数问题，不再赘述。 

首先明确一点，本题若要用四维动态规划写的话肯定会超时几个点的，所以要把它降维。

dp[k][i][j]表示在第k步，a在第i行，b在第j行的最优解。（若原点算第一步的话）

状态转移方程：

dp[k][i][j] = max(dp[k-1][i-1][j]，dp[k-1][i-1][j-1]，dp[k-1][i][j]，dp[k-1][i][j-1]) + a[i][k-i+1] + a[j][k-j+1]);

那么问题的关键就是怎么保存令最小值最小的方案。用a[i][j]存储第二个人在第i行第j列的最优解，更新时令a[i][j]作第二关键字更新即可。详见代码。

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; int read() { int x=0,f=1; char ch; ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } int n,m,k; int mp[105][105],dp[216][105][105],a[105][105]; int ans,maxx; int main() { freopen("maze1.in","r",stdin); freopen("maze1.out","w",stdout); int i,j,t; n=read(); m=read(); k=read(); int x,y; for(i=1;i<=k;i++) { x=read(); y=read(); ++mp[x][y]; } for(t=1;t<=(n+m-2);t++) for(i=1;i<=min(n,t);i++) for(j=1;j<=min(n,t);j++) { if(i!=j) { int v=mp[i][t-i+1]+mp[j][t-j+1]; int& f=dp[t][i][j]; int& fa=a[i][t-i+1]; if(f<dp[t-1][i][j]+v){f=dp[t-1][i][j]+v; fa=a[i][t-i]+mp[i][t-i+1];} else if(f==dp[t-1][i][j]+v) fa=max(fa,a[i][t-i]+mp[i][t-i+1]); if(f<dp[t-1][i-1][j]+v){f=dp[t-1][i-1][j]+v; fa=a[i-1][t-i+1]+mp[i][t-i+1];} else if(f==dp[t-1][i-1][j]+v) fa=max(fa,a[i-1][t-i+1]+mp[i][t-i+1]); if(f<dp[t-1][i][j-1]+v){f=dp[t-1][i][j-1]+v; fa=a[i][t-i]+mp[i][t-i+1];} else if(f==dp[t-1][i][j-1]+v) fa=max(fa,a[i][t-i]+mp[i][t-i+1]); if(f<dp[t-1][i-1][j-1]+v) {f=dp[t-1][i-1][j-1]+v; fa=a[i-1][t-i+1]+mp[i][t-i+1];} else if(f==dp[t-1][i-1][j-1]+v) fa=max(fa,a[i-1][t-i+1]+mp[i][t-i+1]); } } maxx=dp[n+m-2][n][n-1]; if(dp[n+m-2][n][n-1]>dp[n+m-2][n-1][n]){maxx=dp[n+m-2][n][n-1];ans=a[n][m-1];} else if(dp[n+m-2][n][n-1]<dp[n+m-2][n-1][n]) {maxx=dp[n+m-2][n-1][n];ans=a[n-1][m];} else ans=max(a[n][m-1],a[n-1][m]); printf("%d %d %d",maxx,maxx-ans,ans); return 0; } 亟待解决的问题：如果记录第一个人该怎么写？