1061: [Noi2008]志愿者招募
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申奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难 题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要 Ai 个人。 布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用 是每人Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这 并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最优的招募方案。 Input
第一行包含两个整数N, M，表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。 接下来的一行中包含N 个非负 整数，表示每天至少需要的志愿者人数。 接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci，含义如上文所述。为了 方便起见，我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。 Output
仅包含一个整数，表示你所设计的最优方案的总费用。
Sample Input
3 3
2 3 4
1 2 2
2 3 5
3 3 2 Sample Output
14 HINT
1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，题目中其他所涉及的数据均 不超过2^31-1。
Source
sol:(摘录了若干不知出处的讲义，如需注明出处请联系我。 线性规划裸题，具体操作可以用单纯性理论来解释。(我不懂 具体的是先得到一个很裸的线性规划方程，通常是Min(D)，以及若干个约束条件，然后我们将其对偶得到Max(P)，然后改写成松弛形，再使用单纯形法 根据题目很容易可以得到线性规划方程(以样例为例)： Min(2*x1+5*x2+2*x3) x1+ 0+ 0>=2 x1+x2+ 0>=3 0+x2+x3>=4 x1,x2,x3>=0 再将方程对偶，得到： Max(2*x1+3*x2+4*x3) x1+x2+ 0<=2 0+x2+x3<=5 0+ 0+x3<=2 x1,x2,x3>=0 这就是线性规划的标准型了。 为了方便单纯型算法，加入变量x4,x5,x6: Max(2*x1+3*x2+4*x3) x4+x1+x2+ 0=2 x5+ 0+x2+x3=5 x6+ 0+ 0+x3=2 x1,x2,x3,x4,x5,x6>=0 这就是松弛型。显然此时最优解不变。 将松弛型写成矩阵的形式： @ x1 x2 x3 x4 1 1 0 2 x5 0 1 1 5 x6 0 1 1 2 @ 2 3 4 0(k) 当x1,x2,x3取0时，显然满足条件，此时答案为右下角的常数k 我们只需不断增大k，当k达到最大值时最优解就是k了。 那么怎么增大k呢？显然如果我们增大x1，答案会更优。 但x1不能无限制地增大，对于前3个方程，我们得到x1的限制： 1、x1<=2 2、x1无限制 3、x1无限制 我们选择最紧的一个限制1，将x1增大到它，再交换x1,x4。 交换之后再将某些系数改变，使其满足方程就可以了。 于是我们可以不断交换，直到矩阵最后一行的系数都不为正就可以了。最优解就是k。
(为啥网上的都说simplex是指数级的，我矩阵开的这么大没有T飞啊。话说要怎么优化稀疏矩阵啊。GG思密达
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<string> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<cmath> #include<iostream> using namespace std; int n,m; inline int read() { char c; int res,flag=0; while((c=getchar())>'9'||c<'0') if(c=='-')flag=1; res=c-'0'; while((c=getchar())>='0'&&c<='9') res=(res<<3)+(res<<1)+c-'0'; return flag?-res:res; } const int N=1005; const int M=10005; const int INF=1e9; const double eps=1e-6; double a[M][N],b[M],c[N],v; void pivot(int l,int e)//转轴操作 { b[l]/=a[l][e];//可以当高斯消元来理解，但这个只交换数的位置。 for(int j=1;j<=n;j++) if(j!=e) a[l][j]/=a[l][e]; a[l][e]=1/a[l][e]; for(int i=1;i<=m;i++) if(i!=l&&fabs(a[i][e])>0) { b[i]-=a[i][e]*b[l]; for(int j=1;j<=n;j++) if(j!=e) a[i][j]-=a[i][e]*a[l][j]; a[i][e]=-a[i][e]*a[l][e]; } v+=c[e]*b[l]; for(int j=1;j<=n;j++) if(j!=e) c[j]-=c[e]*a[l][j]; c[e]=-c[e]*a[l][e]; }//为什么会有这么迷的算法啊QAQ double simplex() { while(true) { int e=0,l=0; for(e=1;e<=n;e++) if(c[e]>eps) break;//选出一个下标最小的为正的 if(e==n+1) return v; double save=INF; for(int i=1;i<=m;i++) if(a[i][e]>eps&&save>b[i]/a[i][e]) save=b[i]/a[i][e],l=i;//如果有更加紧的限制就换一个 if(save==INF) return INF; pivot(l,e); } } int main() { n=read();m=read();//稍微注意一下，这里的线性规划的矩阵已经对偶了 for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=read(); for(int i=1;i<=m;i++) { int s=read(); int t=read(); for(int j=s;j<=t;j++) a[i][j]=1; b[i]=read(); } printf("%d",(int)(simplex()+0.5)); }