接下来我们就介绍如何寻找增广路径。在介绍增广路径之前，我们首先需要介绍残留网络的概念。
一、残留网络
顾名思义，残留网络是指给定网络和一个流，其对应还可以容纳的流组成的网络。具体说来，就是假定一个网络G=（V，E），其源点s，汇点t。设f为G中的一个流，对应顶点u到顶点v的流。在不超过C（u，v）的条件下（C代表边容量），从u到v之间可以压入的额外网络流量，就是边（u，v）的残余容量（residual capacity），定义如下：
r（u，v）=c（u，v）-f（u，v）
举个例子，假设（u，v）当前流量为3/4，那么就是说c（u，v）=4，f（u，v）=3，那么r（u，v）=1。
我们知道，在网络流中还有这么一条规律。从u到v已经有了3个单位流量，那么从反方向上看，也就是从v到u就有了3个单位的残留网络，这时r（v，u）=3。可以这样理解，从u到v有3个单位流量，那么从v到u就有了将这3个单位流量的压回去的能力。
我们来具体看一个例子，如下图所示一个流网络
其对应的残留网络为：二、增广路径
在了解了残留网络后，我们来介绍增广路径。已知一个流网络G和流f，增广路径p是其残留网络Gf中从s到t的一条简单路径。形象的理解为从s到t存在一条不违反边容量的路径，向这条路径压入流量，可以增加整个网络的流值。上面的残留网络中，存在这样一条增广路径：
其可以压入4个单位的流量，压入后，我们得到一个新的流网络，其流量比原来的流网络要多4。这时我们继续在新的流网络上用同样的方法寻找增广路径，直到找不到为止。这时我们就得到了一个最大的网络流。
三、流网络的割
上面仅仅是介绍了方法，可是怎么证明当无法再寻找到增广路径时，就证明当前网络是最大流网络呢？这就需要用到最大流最小割定理。
首先介绍下，割的概念。流网络G（V，E）的割（S，T）将V划分为S和T=V-S两部分，使得s属于S，t属于T。割（S，T）的容量是指从集合S到集合T的所有边（有方向）的容量之和（不算反方向的，必须是S-àT）。如果f是一个流，则穿过割（S，T）的净流量被定义为f（S，T）（包括反向的，SàT的为正值，T—>S的负值）。将上面举的例子继续拿来，随便画一个割，如下图所示：
割的容量就是c(u,w)+c(v,x)=26
当前流网络的穿过割的净流量为f(u,w)+f(v,x)-f(w,v)=12+11-4=19
显然，我们有对任意一个割，穿过该割的净流量上界就是该割的容量，即不可能超过割的容量。所以网络的最大流必然无法超过网络的最小割。
可是，这跟残留网络上的增广路径有什么关系呢？
首先，我们必须了解一个特性，根据上一篇文章中讲到的最大流问题的线性规划表示时，提到，流网络的流量守恒的原则，根据这个原则我们可以知道，对网络的任意割，其净流量的都是相等的。具体证明是不难的，可以通过下图形象的理解下，
和上面的割相比，集合S中少了u和v，从源点s到集合T的净流量都流向了u和v，而在上一个割图中，集合S到集合T的流量是等于u和v到集合T的净流量的。其中w也有流流向了u和v，而这部分流无法流向源点s，因为没有路径，所以最后这部分流量加上s到u和v的流量，在u和v之间无论如何互相传递流，最终都要流向集合T，所以这个流量值是等于s流向u和v的值的。将s比喻成一个水龙头，u和v流向别处的水流，都是来自s的，其自身不可能创造水流。所以任意割的净流量都是相等的。
万事俱备，现在来证明当残留网络Gf中不包含增广路径时，f是G的最大流。
假设Gf中不包含增广路径，即Gf不包含从s到v的路径，定义S={v:Gf中从s到v存在一条通路}，也就是Gf中s能够有通路到达的点的集合，显然这个集合不包括t，因为s到t没有通路。这时，我们令T=V-S。那么（S，T）就是一个割。如下图所示：
那么，对于顶点u属于S，v属于T，有f（u，v）=c（u，v）。否则（u，v）就存在残余流量，因而s到u加上u到v就构成了一条s到v的通路，所以v就必须属于S，矛盾。因此这时就表明当前流f是等于当前的割的容量的，因此f就是最大流。1,第一个数表示容量cij，第二个数表示流量fij
2,可行流与最大流
在运输网络的实际问题中，我们可以看出，对于流有两个显然的要求：一是每个弧上的流量不能超过该弧的最大通过能力(即弧的容量)；二是中间点的流量为0，源点的净流出量和汇点的净流入量必相等且为这个方案的总输送量。因此有：
(1)容量约束：0≤fij≤cij，(vi,vj)∈E，
(2)守恒条件
3,可增广路径
所谓可增广路径，是指这条路径上的流可以修改，通过修改，使得整个网络的流值增大。
设f是一个可行流，P是从源点s到汇点t的一条路，若p满足下列条件：
(1)在p上的所有前向弧(vi→vj)都是非饱和弧，即0≤fij<cij
(2)在p上的所有后向弧(vi←vj)都是非零弧，即0<fij≤cij
则称p为(关于可行流f的)一条可增广路径。
4,最大流定理
当且仅当不存在关于f*的增广路径，可行流f*为最大流。
5,最大流算法
算法思想:最大流问题实际上是求一可行流{fij}，使得v(f达到最大。若给了一个可行流f，只要判断N中有无关于f的增广路径，如果有增广路径，改进f， 得到一个流量增大的新的可行流；如果没有增广路径，则得到最大流。
6,应用:http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1273
代码:(有环的情况存在)
Cpp代码
#include <iostream> #include <queue> using namespace std; const int maxN=201; static int edge[maxN][maxN]; bool visited[maxN]; int father[maxN]; int N, M; //边数,顶点数 int ans; //结果 void Ford_Fulkerson( ) { while(1) { //一次大循环,找到一条可能的增广路径 queue <int> q; memset(visited, 0, sizeof(visited)); memset(father, -1, sizeof(father)); int now; visited[0] = true; q.push(0); while(!q.empty())//广度优先 { now = q.front(); q.pop(); if(now == M-1) break; for(int i = 0; i < M; i++) { //每次父亲节点都要更新,权值减为0的边就不算了. if(edge[now][i] && !visited[i]) { father[i] = now; visited[i] = true; q.push(i); } } } //可能的增广路不存在了 if(!visited[M-1]) break; int u, min = 0xFFFF; for(u = M-1; u; u = father[u])//找出权值最小的边 { if(edge[father[u]][u] < min) min = edge[father[u]][u]; } //减去最小权值 for(u = M-1; u; u = father[u]) { //前向弧减去 edge[father[u]][u] -= min; //后向弧加上 //存在圆环,这句话关键 edge[u][father[u]] += min; } //当前增广路径增加的流 ans += min; } } int main() { int s, e, w; while(cin >> N >> M) { ans = 0; memset(edge, 0, sizeof(edge)); for(int i = 0; i<N; i++) { cin >> s >> e >> w; edge[s-1][e-1] += w; } Ford_Fulkerson(); cout << ans << endl; } return 0; }