T检验是假设检验的一种，又叫student t检验（Student’s t test），主要用于样本含量较小（例如n<30），总体标准差σ未知的正态分布资料。 T检验用于检验两个总体的均值差异是否显著。
例1： “超级引擎”工厂是一家专门生产汽车引擎的工厂，根据政府发布的新排放要求，引擎排放平均值应低于20ppm，如何证明生产的引擎是否达标呢？（排放量的均值小于20ppm）
一个直接的想法就是，把这个工厂所有的引擎都测试一下，然后求一下排放平均值就好了。比如工厂生产了10个引擎，排放水平如下： 15.6 16.2 22.5 20.5 16.4 19.4 16.6 17.9 12.7 13.9 排放平均值为 (15.6+16.2+22.5+20.5+16.4+19.4+16.6+17.9+12.7+13.9)/10=17.17 小于政府规定的20ppm，合格！
这也太简单了！
然而，随着“超级引擎”工厂规模逐渐增大，每天可以生产出10万个引擎，如果把每个引擎都测试一遍，估计要累死人了…… 有没有更好的方法？
由于引擎数量太多，把所有引擎测试一遍太麻烦了，“智多星”有一个好想法： 可不可以采用“反证法”？先假设所有引擎排放量的均值为 μ ，然后随机抽取10个引擎，看看这10个引擎的排放量均值与假设是否相符，如果相符，则认为假设是正确的，反之认为假设是错误的。这样，就可以通过一小部分数据推测数据的总体，真是太棒了！
具体怎么操作呢？
先建立两个假设，分别为: H0:μ⩾20 (原假设) H1:μ<20 (备择假设) 【 μ 代表总体(所有引擎的排放量)均值】
在原假设成立的基础上，求出”取得样本均值或者更极端的均值”的概率，如果概率很大，就倾向于认为原假设 H0 是正确的，如果概率很小，就倾向于认为原假设 H0 是错误的，从而接受备择假设 H1 。
那么如何求这个概率p呢？ 这就需要引入一个概念——统计量 简单的讲，统计量就类似于用样本已知的信息(如样本均值，样本标准差)构建的一个“标准得分”，这个“标准得分”可以让我们求出概率p
由于样本服从正态分布，且样本数量较小(10)，所以这里要用到的统计量为t统计量，公式如下：
t=x¯−μS/n√∼t(n−1) x¯:样本均值 μ:总体均值 S:样本标准差 n:样本容量 该 t 统计量服从自由度为n−1的t分布让我们试验一下！ 现在抽取出10台引擎供测试使用，每一台的排放水平如下： 15.6 16.2 22.5 20.5 16.4 19.4 16.6 17.9 12.7 13.9 样本均值
x¯=∑nk=1xkn=(15.6+16.2+22.5+20.5+16.4+19.4+16.6+17.9+12.7+13.9)10=17.17 样本方差 S2=∑nk=1(xk−x¯)n−1 样本标准差 S=S2−−√=(15.6−17.17)2+(16.2−17.17)2+⋯+(13.9−17.17)2n−1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=2.98我们把原假设 μ⩾20 拆分，先考虑 μ=20 的情况 将数值带入t统计量公式中，可以得出 t=17.17−202.98/10√=−3.00
由于t统计量服从自由度为9的t分布，我们可以求出t统计量小于-3.00的概率，即下图阴影部分面积
通过查询t分位数表(见附录)，我们可知，当自由度为9时，t统计量小于-2.821的概率为1%，而我们求得的t统计量为-3.00，所以t统计量小于-3.00的概率比1%还要小(因为-3.00在-2.81的左边，所以阴影面积更小)。 这个概率值通常被称作“p值”，即在原假设成立的前提下，取得“像样本这样，或比样本更加极端的数据”的概率。
到这里，我们可以总结出如下结论： 在 μ=20 成立(所有引擎排放均值为20ppm)的前提下，从所有引擎中随机选出10个引擎，这10个引擎排放均值小于17.17的概率小于1%
再考虑 μ>20 的情况: 由t统计量的公式 t=x¯−μS/n√ 可以看出，当 μ 增大，其他变量均保持不变时， t 统计量的值会变小，因此求概率时阴影面积也会变小，总结来看，我们得出如下结论： 在μ⩾20成立的前提下，从所有引擎中随机选出10个引擎，这10个引擎排放均值小于17.17的概率小于1%
由于1%的概率很小，所以我们更倾向于认为，原假设 H0:μ⩾20 是错误的，从而接受备择假设 H1 。
综上，我们认为，所有引擎的排放量均值小于20ppm，工厂生产的引擎符合标准。
在例1中，我们认为1%的概率很小，所以更倾向于认为原假设是错误的，从而接受了备择假设。但这样的判断是准确的吗？为了探讨这个问题，我们考虑以下四种情况：
事实(右)/判断(下) H0 成立 H1 成立 H0 成立判断正确第二类错误 H1 成立第一类错误判断正确即： 如果事实为 H0 成立，而我们做出了接受备择假设 H1 的判断，则犯了第一类错误——拒真 如果事实为 H1 成立，而我们做出了接受原假设 H0 的判断，则犯了第二类错误——取伪
所以用另外一种角度来看上面的例子： 在 μ⩾20 成立的前提下，从所有引擎中随机选出10个引擎，这10个引擎排放均值小于17.17的概率小于1%，当我们据此做出“拒绝原假设 H0 ，接受备择假设 H1 ”的结论时，有小于1%的概率犯第一类错误，因为 H0 仍有小于1%的概率是成立的，虽然这个概率很小。
所以利用t检验做出的结论并不是百分之百正确的，仍有很小的几率会犯错误。对于上面的例子，有些人会认为1%的概率已经很小了，可以拒绝原假设，还有些人会认为1%的概率虽然很小，但不足以拒绝原假设。为了解决这个问题，统计学家们提出了一个阈值，如果犯第一类错误的概率小于这个阈值，就认为可以拒绝原假设，否则认为不足以拒绝原假设。这个阈值就叫 α 。
现在，让我们尝试引入 α ，用另一种流程解决例1：
建立原假设和备择假设 H0:μ⩾20 H1:μ<20
确定α 令 α=0.05 ( α 的值通常为0.01,0.05,0.1，视具体问题而定)
确定用于决策的拒绝域 在确定了 α 和t统计量自由度(根据样本容量可以求出，在这个例子中，自由度为[样本容量-1]）的前提下，我们可以通过查询t分位数表，找出“拒绝域”，如果t统计量落入拒绝域内，就拒绝原假设，否则接收原假设。 根据t分位数表，我们查出当自由度为9时， t⩽−1.833 的概率为0.05，因此，拒绝域为{ t |t⩽−1.833}
查看样本结果是否位于拒绝域内 将样本均值和样本标准差带入t统计量计算公式，得出t=-3.00，落入拒绝域内
做出决策 拒绝原假设 H0 ，接受备择假设 H1 ，认为样本均值与总体均值差异显著，认为所有的引擎排放量平均值小于20ppm
以上就是t检验的标准化流程。
在例1中，我们的假设形式为： H0:μ⩾x0 H1:μ<x0 ( x0 为某一常数) 拒绝域的形式为{ t|t⩽c } ( c 为某一常数)，如果用数轴表示，形如： 假设的形式与拒绝域的形式有没有什么联系呢？ 为了进一步讨论，我们将假设的形式做如下分类： 类别1：备择假设中包含≠ 1.1 H0:μ=x0 vs H1:μ≠x0 类别2：备择假设中包含 >或< 2.1 H0:μ=x0 vs H1:μ>x0 2.2 H0:μ=x0 vs H1:μ<x0 2.3 H0:μ⩾x0 vs H1:μ<x0 2.4 H0:μ⩽x0 vs H1:μ>x0 注意：原假设和备择假设不一定将数轴全部覆盖，在实际生活中，形如2.1和2.2的问题是存在的
类别1称为双尾检验，由于备择假设中包含 ≠ ，拒绝域分布在两侧 类别2称为单尾检验 备择假设中包含 > 的情形，拒绝域在数轴右侧 备择假设中包含<的情形，拒绝域在数轴左侧
t检验分为单总体t检验和双总体t检验
检验一个样本平均数与一个已知的总体平均数差异是否显著。 适用条件： 1.总体服从正态分布 2.样本量小于30（当样本量大于30时，用Z统计量) 统计量：
t=x¯−μS/n√∼t(n−1) x¯ ——样本均值 μ ——总体均值 S ——样本标准差 n——样本容量 例1就是单样本t检验的例子。检验两个样本各自所代表的总体的均值差异是否显著，包括独立样本t检验和配对样本t检验
检验两个独立样本所代表的总体均值差异是否显著。 适用条件： 1.两样本均来自于正态总体 2.两样本相互独立 3.满足方差齐性（两总体方差相等） 统计量：
t=x¯−y¯Sw1m+1n−−−−−−√∼t(m+n−2) 其中 Sw=1m+n+1[(m−1)S21+(n−1)S22] x¯ ——第一个样本均值 y¯ ——第二个样本均值 m ——第一个样本容量 n——第二个样本容量 S21 ——第一个样本方差 S22 ——第二个样本方差检验两个配对样本所代表的总体均值差异是否显著。 配对样本主要包含以下两种情形： 1.同源配对,也就是同质的对象分别接受两种不同的处理。例如：为了验证某种记忆方法对改善儿童对词汇的记忆是否有效，先随机抽取40名学生，再随机分为两组。一组使用该训练方法，一组不使用，三个月后对这两组的学生进行词汇测验，得到数据。问该训练方法是否对提高词汇记忆量有效？ 2.自身配对 2.1某组同质对象接受两种不同的处理。例如：某公司推广了一种新的促销方式，实施前和实施后分别统计了员工的业务量，得到数据。试问这种促销方式是否有效？ 适用条件： 每对数据的差值必须服从正态分布 统计量：
t=xd¯Sd/n√ 两配对样本对应元素做差后形成的新样本 xd¯ ——新样本均值 Sd ——新样本标准差 n ——新样本容量t分布的形状与正态分布很相似，都是中间高，两端低的“钟形”，当t分布的自由度为无穷大时，其形状与正态分布相同，随着自由度的减小，t分布的中间变低，两端变高，与正态分布相比更加“平坦”。
设x1,x2,⋯,xn来自正态分布总体 N(μ,σ2) ,则 均值 x¯=1n∑ni=1xi 方差 S2=1n−1∑ni=1(xi−x¯)2 且有： 1. x¯ 与 S2 相互独立 2. x¯∼N(μ,σ2μ) 3. (n−1)S2σ2∼χ2(n−1) 所以： x¯−μσ/n√∼N(0,1) (n−1)S2σ2∼χ2(n−1) 所以： x¯−μσ/n√/(n−1)S2σ2/(n−1)−−−−−−−−−−−−√=x¯−μS/n√∼t(n−1)
x1,x2,⋯,xn 来自正态分布总体 N(μ1,σ21) y1,y2,⋯,yn 来自正态分布总体 N(μ2,σ22) 且两样本是独立的 当 σ1 与 σ2 已知： x¯−y¯∼N(μ1−μ2,σ21m+σ22n)
μ=(x¯−y¯)−(μ1−μ2)σ21m+σ22n−−−−−−−√∼N(0,1) 当 σ1 与 σ2 未知时: σ21=σ22=σ2 时， x¯−y¯∼N(μ1−μ2,(1m+1n)σ2) 因为： 1σ2∑mi=1(xi−x¯)2∼χ2(m−1) 1σ2∑ni=1(yi−y¯)2∼χ2(n−1) 所以： 1σ2∑mi=1(xi−x¯)2+1σ2∑ni=1(yi−y¯)2∼χ2(m+n−2) 因卡方分布 χ2 具有可加性 令 S2w=1m+n−2[∑mi=1(xi−x¯)2+∑ni=1(yi−y¯)2] t=(x¯−y¯)−(μ1−μ2)Sw1m+1n−−−−−−√ 当假设两总体均值相等，即 μ1=μ2 时： t=x¯−y¯Sw1m+1n−−−−−−√ 其中： Sw=1m+n−2[(m−1)S21+(n−1)S22]可将两配对样本对应元素做差，得到新样本，这个新样本可视作单样本，与单样本t检验统计量证明方法相同。
