迹运算丨 trace t r a c e

迹运算丨tracetracetrace 理论知识Matlab 实现

线性代数运用挺多的运算，学习一下。

理论知识

迹运算返回的矩阵对角元素的和：

Tr(A)=∑iAi,i T r ( A ) = ∑ i A i , i 迹运算因为很多原因而受到关注。若不使用求和符号，有些矩阵运算很难描述，而通过矩阵乘法和迹运算符号，可以清楚地表示。例如，迹运算提供了另一种描述矩阵 Frobenius F r o b e n i u s 范数的方式： ||A||F=Tr(AAT)−−−−−−−−√ | | A | | F = T r ( A A T )

Frobenius 范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方。范数讲解

用迹运算表示表达式，我们可以使用很多有用的等式来操纵表达式。例如，迹运算在转置运算下是不变的：

Tr(A)=Tr(AT) T r ( A ) = T r ( A T )

多个矩阵乘积的迹，和将这些矩阵中最后一个挪到最前面之后乘积的迹是相同的。当然，我们需要考虑挪动之后矩阵乘积依然定义良好：

Tr(ABC)=Tr(CAB)=Tr(BCA) T r ( A B C ) = T r ( C A B ) = T r ( B C A )

即使循环置换后矩阵乘积得到的矩阵形状变了，迹运算的结果依然不变。例如，假设矩阵 A∈Rm×n A ∈ R m × n ，矩阵 B∈Rn×m B ∈ R n × m ，我们可以得到:

Tr(AB)=Tr(BA) T r ( A B ) = T r ( B A ) 即使 AB∈Rm×m A B ∈ R m × m 和 BA∈Rn×n B A ∈ R n × n 。

另一个有用的事实是标量在迹运算后仍然是它自己： a=Tr(a) a = T r ( a ) 。

Matlab 实现

定义矩阵A:

% 矩阵a a=[1,3,4; 3,2,4; 1,1,2]

输入：

% 求迹，主对角线之和 >> trace(a) ans = 5 % Frobenius 范数 >> norm(a,'fro'); ans = 7.8102 % 上述公式实现 >> sqrt(trace(a*a')) ans = 7.8102