迹运算丨trace

xiaoxiao2021-03-01  22

迹运算丨 trace t r a c e

迹运算丨tracetracetrace 理论知识Matlab 实现

线性代数运用挺多的运算,学习一下。

理论知识

迹运算返回的矩阵对角元素的和:

Tr(A)=iAi,i T r ( A ) = ∑ i A i , i 迹运算因为很多原因而受到关注。若不使用求和符号,有些矩阵运算很难描述,而通过矩阵乘法和迹运算符号,可以清楚地表示。例如,迹运算提供了另一种描述矩阵 Frobenius F r o b e n i u s 范数的方式: ||A||F=Tr(AAT) | | A | | F = T r ( A A T )

Frobenius 范数,即矩阵元素绝对值的平方和再开平方。范数讲解

用迹运算表示表达式,我们可以使用很多有用的等式来操纵表达式。例如,迹运算在转置运算下是不变的:

Tr(A)=Tr(AT) T r ( A ) = T r ( A T )

多个矩阵乘积的迹,和将这些矩阵中最后一个挪到最前面之后乘积的迹是相同的。当然,我们需要考虑挪动之后矩阵乘积依然定义良好:

Tr(ABC)=Tr(CAB)=Tr(BCA) T r ( A B C ) = T r ( C A B ) = T r ( B C A )

即使循环置换后矩阵乘积得到的矩阵形状变了,迹运算的结果依然不变。例如,假设矩阵 ARm×n A ∈ R m × n ,矩阵 BRn×m B ∈ R n × m ,我们可以得到:

Tr(AB)=Tr(BA) T r ( A B ) = T r ( B A ) 即使 ABRm×m A B ∈ R m × m BARn×n B A ∈ R n × n

另一个有用的事实是标量在迹运算后仍然是它自己: a=Tr(a) a = T r ( a )

Matlab 实现

定义矩阵A:

% 矩阵a a=[1,3,4; 3,2,4; 1,1,2]

输入:

% 求迹,主对角线之和 >> trace(a) ans = 5 % Frobenius 范数 >> norm(a,'fro'); ans = 7.8102 % 上述公式实现 >> sqrt(trace(a*a')) ans = 7.8102
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