一、Prim算法：
Prim算法实现的是找出一个有权重连通图中的最小生成树，即：具有最小权重且连接到所有结点的树。(强调的是树，树是没有回路的)。
Prim算法是这样来做的：
首先以一个结点作为最小生成树的初始结点，然后以迭代的方式找出与最小生成树中各结点权重最小边，并加入到最小生成树中。加入之后如果产生回路则跳过这条边，选择下一个结点。当所有结点都加入到最小生成树中之后，就找出了连通图中的最小生成树了。
Prim算法最小生成树查找过程：
C语言实现：
C代码 #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define maxint 1073741824 int main() { FILE *input=fopen(“input.txt”,“r”),*out=fopen(“output.txt”,“w”); int n,m,i,j,x,y,w; fscanf(input,”%d %d”,&n,&m); int map[n][n],E[m][3],tree[m],Mst[n][n]; /*Mst表示最小生成树的邻接矩阵，map是原图，E是边集，其中E[0]和E[1]是边的两个顶点，E[2]是边的权值，tree是用于判断原图的点是否在最小生成树中*/ memset(tree,0,sizeof(tree)); for(i=0; i<n; i++) { for(j=0; j<n; j++) { map[i][j]=maxint; Mst[i][j]=maxint; } E[i][0]=E[i][1]=maxint; } for(i=0; i<m; i++) { fscanf(input,”%d %d %d”,&x,&y,&w); if(w<map[x][y]) { map[x][y]=w; map[y][x]=w; } } int min=maxint,next=0,now=0,k=0; tree[0]=1; for(i=0; i<n; i++) { for(j=0; j<n; j++) { if(map[now][j]!=maxint && tree[j]==0) { E[k][0]=now; E[k][2]=map[now][j]; E[k++][1]=j; } } for(j=0; j<k; j++) { if(E[j][2]<min && tree[E[j][1]]==0) { min=E[j][2]; x=E[j][0]; y=E[j][1]; next=y; } } tree[next]=1; now=next; Mst[x][y]=map[x][y]; Mst[y][x]=map[y][x]; min=maxint; } for(i=0; i<n; i++) { for(j=0; j<n; j++) { if(Mst[i][j]==maxint) //判断两点是否连通 fprintf(out,”00 ”); //美化输出，不必多加探究 else { fprintf(out,”%d ”,Mst[i][j]); //输出生成树的邻接矩阵，要输出树的自己可以根据邻接矩阵的数据进行加工 } } fprintf(out,”\n”); } fclose(input); fclose(out); return 0; } // 程序未考虑不是连通图的情况，修改很简单，判断生成树的节点数量是否等于原图的节点数量 //如果小于（不会有大于）则本图不是连通图 //其实prim和迪杰斯特拉算法核心有相似之处
注意： 若候选轻边集中的轻边不止一条，可任选其中的一条扩充到T中。 连通网的最小生成树不一定是惟一的，但它们的权相等。 【例】在上图(e)中，若选取的轻边是(2，4)而不是(2，1)时，则得到如图(h)所示的另一棵MST。 算法特点 该算法的特点是当前形成的集合T始终是一棵树。将T中U和TE分别看作红点和红边集，V-U看作蓝点集。算法的每一步均是在连接红、蓝点集的紫边中选择一条轻边扩充进T中。MST性质保证了此边是安全的。T从任意的根r开始，并逐渐生长直至U=V，即T包含了 C中所有的顶点为止。MST性质确保此时的T是G的一棵MST。因为每次添加的边是使树中的权尽可能小，因此这是一种”贪心”的策略。 算法分析 该算法的时间复杂度为O(n2)。与图中边数无关，该算法适合于稠密图。
算法演示：
http://sjjp.tjuci.edu.cn/sjjg/DataStructure/DS/web/flashhtml/prim.htm
二、Kruskal算法：
Kruskal算法与Prim算法的不同之处在于，Kruskal在找最小生成树结点之前，需要对所有权重边做从小到大排序。将排序好的权重边依次加入到最小生成树中，如果加入时产生回路就跳过这条边，加入下一条边。当所有结点都加入到最小生成树中之后，就找出了最小生成树。
C语言实现：
C代码 /* Kruskal.c Copyright (c) 2002, 2006 by ctu_85 All Rights Reserved. */ /* I am sorry to say that the situation of unconnected graph is not concerned */ #include ”stdio.h” #define maxver 10 #define maxright 100 int G[maxver][maxver],record=0,touched[maxver][maxver]; int circle=0; int FindCircle(int,int,int,int); int main() { int path[maxver][2],used[maxver][maxver]; int i,j,k,t,min=maxright,exsit=0; int v1,v2,num,temp,status=0; restart: printf(”Please enter the number of vertex(s) in the graph:\n”); scanf(”%d”,&num); if(num>maxver||num<0) { printf(”Error!Please reinput!\n”); goto restart; } for(j=0;j<num;j++) for(k=0;k<num;k++) { if(j==k) { G[j][k]=maxright; used[j][k]=1; touched[j][k]=0; } else if(j<k) { re: printf(”Please input the right between vertex %d and vertex %d,if no edge exists please input -1:\n”,j+1,k+1); scanf(”%d”,&temp); if(temp>=maxright||temp<-1) { printf(”Invalid input!\n”); goto re; } if(temp==-1) temp=maxright; G[j][k]=G[k][j]=temp; used[j][k]=used[k][j]=0; touched[j][k]=touched[k][j]=0; } } for(j=0;j<num;j++) { path[j][0]=0; path[j][1]=0; } for(j=0;j<num;j++) { status=0; for(k=0;k<num;k++) if(G[j][k]<maxright) { status=1; break; } if(status==0) break; } for(i=0;i<num-1&&status;i++) { for(j=0;j<num;j++) for(k=0;k<num;k++) if(G[j][k]<min&&!used[j][k]) { v1=j; v2=k; min=G[j][k]; } if(!used[v1][v2]) { used[v1][v2]=1; used[v2][v1]=1; touched[v1][v2]=1; touched[v2][v1]=1; path[0]=v1; path[1]=v2; for(t=0;t<record;t++) FindCircle(path[t][0],path[t][0],num,path[t][0]); if(circle) {/*if a circle exsits,roll back*/ circle=0; i–; exsit=0; touched[v1][v2]=0; touched[v2][v1]=0; min=maxright; } else { record++; min=maxright; } } } if(!status) printf(”We cannot deal with it because the graph is not connected!\n”); else { for(i=0;i<num-1;i++) printf(”Path %d:vertex %d to vertex %d\n”,i+1,path[0]+1,path[1]+1); } return 1; } int FindCircle(int start,int begin,int times,int pre) { /* to judge whether a circle is produced*/ int i; for(i=0;i<times;i++) if(touched[begin]==1) { if(i==start&&pre!=start) { circle=1; return 1; break; } else if(pre!=i) FindCircle(start,i,times,begin); else continue; } return 1; }
算法描述：克鲁斯卡尔算法需要对图的边进行访问，所以克鲁斯卡尔算法的时间复杂度只和边又关系，可以证明其时间复杂度为O（eloge）。
算法过程：
1.将图各边按照权值进行排序
2.将图遍历一次，找出权值最小的边，（条件：此次找出的边不能和已加入最小生成树集合的边构成环），若符合条件，则加入最小生成树的集合中。不符合条件则继续遍历图，寻找下一个最小权值的边。
3.递归重复步骤1，直到找出n-1条边为止（设图有n个结点，则最小生成树的边数应为n-1条），算法结束。得到的就是此图的最小生成树。
克鲁斯卡尔（Kruskal）算法因为只与边相关，则适合求稀疏图的最小生成树。而prime算法因为只与顶点有关，所以适合求稠密图的最小生成树。
无疑，Kruskal算法在效率上要比Prim算法快，因为Kruskal只需要对权重边做一次排序，而Prim算法则需要做多次排序。尽管Prim算法每次做的算法涉及的权重边不一定会涵盖连通图中的所有边，但是随着所使用的排序算法的效率的提高，Kruskal算法和Prim算法之间的差异将会清晰的显性出来。
