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Name: 动态规划专题之数塔问题
Author: 巧若拙
Description:7625_三角形最佳路径问题
描述：如下所示的由正整数数字构成的三角形:
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
从三角形的顶部到底部有很多条不同的路径。对于每条路径，把路径上面的数加起来可以得到一个和，和最大的路径称为最佳路径。
你的任务就是求出最佳路径上的数字之和。
注意：路径上的每一步只能从一个数走到下一层上和它最近的下边（正下方）的数或者右边（右下方）的数。
输入
第一行为三角形高度100>=h>=1，同时也是最底层边的数字的数目。
从第二行开始，每行为三角形相应行的数字，中间用空格分隔。
输出
最佳路径的长度数值。
样例输入
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
或
1
8
样例输出
30
或
8
*/
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAX = 100;
int map[MAX][MAX];
int B1[MAX][MAX]; //备忘录，记录从位置(x,y)到达底行所获得的最大值
int B2[MAX][MAX]; //备忘录，记录从顶点到位置(x,y)所获得的最大值
int bestP; //记录最优解
void DFS(int n, int x, int y, int curP);//n表示行数，x,y表示当前位置坐标，curP表示目前已走路径上的权值和
int DP_1(int n, int x, int y);//n表示行数，计算从位置(x,y)到达底行所获得的最大值
int DP_2(int n); //动态规划；顺推法
int DP_3(int n); //动态规划（逆推法）
void PrintPath(int n); //输出最佳路径
int main()
{
int n;
cin >> n;
for (int i=0; i<n; i++)
{
for (int j=0; j<=i; j++)
{
cin >> map[i][j];
}
}
//回溯算法，需要用到全局变量map[MAX][MAX]，另有bestP初始化为0
DFS(n, 0, 0, map[0][0]);
cout << bestP << endl;
//记忆化搜索（备忘录算法），需要用到全局变量map[MAX][]，另有B1[MAX][]初始化为-1
memset(B1, -1, sizeof(B1)); //先初始化B1的值全为-1
cout << DP_1(n, 0, 0) << endl;
//动态规划（顺推法），需要用到全局变量map[MAX][]，另有B2[MAX][]初始化为0
cout << DP_2(n) << endl;
//动态规划（逆推法），需要用到全局变量map[MAX][]
cout << DP_3(n) << endl;
PrintPath(n); //输出最佳路径
return 0;
}
void DFS(int n, int x, int y, int curP)//n表示行数，x,y表示当前位置坐标，curP表示目前已走路径上的权值和
{
if (x == n-1)
{
if (curP > bestP)
bestP = curP;
}
else
{
DFS(n, x+1, y, curP+map[x+1][y]); //向正下方走
DFS(n, x+1, y+1, curP+map[x+1][y+1]); //向右下方走
}
}
int DP_1(int n, int x, int y)//n表示行数，计算从位置(x,y)到达底行所获得的最大值
{
if (B1[x][y] != -1)
return B1[x][y];
if (x == n-1)
B1[x][y] = map[x][y];
else
B1[x][y] = map[x][y] + max(DP_1(n,x+1,y), DP_1(n,x+1,y+1));
return B1[x][y];
}
int DP_2(int n)//动态规划；顺推法
{
B2[0][0] = map[0][0];
for (int i=1; i<n; i++)//先为第一列赋值
B2[i][0] = map[i][0] + B2[i-1][0];
for (int i=1; i<n; i++) //从左上角斜向下走，最终到达底边
{
for (int j=1; j<=i; j++)
{
B2[i][j] = map[i][j] + max(B2[i-1][j], B2[i-1][j-1]);
}
}
int s = B2[n-1][0];
for (int j=1; j<n; j++) //在底行寻找最大值
{
if (s < B2[n-1][j])
s = B2[n-1][j];
}
return s;
}
int DP_3(int n) //动态规划（逆推法）
{
for (int i=n-2; i>=0; i--) //从右下角斜向上走，最终到达顶点，刚好得到答案
{
for (int j=i; j>=0; j--)
{
map[i][j] += max(map[i+1][j], map[i+1][j+1]);
}
}
return map[0][0];
}
void PrintPath(int n) //输出最佳路径
{
int i = 0, j = 0;
for (int k=1; k<n; k++) //输出前n-1行
{
if (map[i+1][j] > map[i+1][j+1]) //向正下方走
{
cout << map[i][j] - map[i+1][j] << "->";
i++;
}
else //向右下方走
{
cout << map[i][j] - map[i+1][j+1] << "->";
i++;
j++;
}
}
//输出底层元素
cout << map[i][j] << endl;
}
