单循环赛程安排问题

xiaoxiao2021-03-01  3

首先,来解释一下,什么是单循环问题,其实,这是一个我们在实现中经常遇到的问题。

问题描述: 赛程问题:有N个运动员进行单循环赛,即两个运动员都要与其他所有运动员比赛一次。要求每个运动员每天只进行一次比赛,且整个赛程在N-1天内结束,运动员编号由1到N 注:N = 2^k

解题思想:

看到这个问题,我们的第一种想法当然就是用穷举法,找出一个可行的方案。其实这题并不适合用穷举法去解决,因为其时间复杂度太大。下面来说说,如何使用分治的思想来解决这个问题。

按分治策略,我们可以将所有的选手分为两半,则n个选手的比赛日程表可以通过n/2个选手的比赛日程表来决定。递归地用这种一分为二的策略对选手进行划分,直到只剩下两个选手时,就让这两个选手进行比赛就可以了。

日程表可用矩阵来标识,元素值为运动员编号,列坐标表示第几天,下标从0开始,并约定第0天,表示自己跟自己比赛,例如,对于只有两个动员员的情况 1 2 2 1

表示,1的第1天跟2比赛,2的第一天跟1比赛。

下面来看看四个运动员的情况,如下:

1 2 3 4

2 1 4 3

3 4 1 2

4 3 2 1

可把它划分为4个2*2的矩阵,即划分为四组两个动动员时的情况。

据此我们可以看到,将左上角小块中的所有数字按其相对位置抄到右下角,又将左下角小块中的所有数字按其相对位置抄到右上角,这样我们就分别安排好了。

下面我们来看看如何用代码(C/C++)实现它。

代码实现:

#include <iostream> using namespace std; void GameSchedule(int *table, int table_rank); //单循环赛程算法启动函数 void GSchedule(int *table, int table_rank, int r1, int c1, int r2, int c2, int n); //单循环赛程的安排实现 void InitTable(int *table, int table_rank); //初始化赛程表 void PrintTable(int *table, int table_rank); //输出赛程表 int main() { int sport_count = 0;//记录运动员的人数 cout<<"Please enter the count of sporters: "; cin>>sport_count; //创建一张运动员人数*运动员人数的赛程表 int *table = new int[sport_count * sport_count]; //安排赛程 GameSchedule(table, sport_count); //输出安排结果 PrintTable(table, sport_count); delete []table; return 0; } void GameSchedule(int *table, int table_rank) { //首先对赛程表初始化,然后进行赛程安排 InitTable(table, table_rank); GSchedule(table, table_rank, 0, 0, table_rank-1, table_rank-1, table_rank); } void GSchedule(int *table, int table_rank, int r1, int c1, int r2, int c2, int n) { //table_rank为矩阵的阶数,n为运动员的人数 //(r1,c1)为要处理的子矩阵的第一个元素的坐标 //(r2,c2)为要处理的子矩阵的最后一个元素的坐标 if(n >= 2) { //对以坐标(r1,c1)为始点,(r2,c2)为终点的所有的运动员安排赛程 for(int i = 0; i < n; ++i) { //即将左上角小块中的所有数字按其相对位置抄到右下角 //将左下角小块中的所有数字按其相对位置抄到右上角 if(*(table + (r2-i)*table_rank+c2) == 0) *(table + (r2-i)*table_rank+c2) = *(table+(r1+i)*table_rank+c1); else *(table+(r1+i)*table_rank+c1) = *(table+(r2-i)*table_rank+c2); } int mr = (r2-r1)/2; int mc = (c2-c1)/2; n /= 2;//将运动员的人数减少一半 //为其左上角的四分之一的矩阵安排赛程 GSchedule(table, table_rank, r1,c1, r1+mr,c1+mc, n); //为其右上角的四分之一的矩阵安排赛程 GSchedule(table, table_rank, r1, c1+mc+1, r1+mr, c2, n); //为其左下角的四分之一的矩阵安排赛程 GSchedule(table, table_rank, r1+mr+1, c1, r2, c1+mc, n); //为其右下角的四分之一的矩阵安排赛程 GSchedule(table, table_rank, r1+mr+1, c1+mc+1, r2, c2, n); } } void InitTable(int *table, int table_rank) { //初始化赛程表,首先把所有的数据置0 for(int i = 0; i < table_rank; ++i) { for(int j = 0; j < table_rank; ++j) *(table + i * table_rank +j) = 0; } //设置第0天为与自己比赛 for(int i = 0; i < table_rank; ++i) { *(table+i*table_rank+0) = i + 1; } } void PrintTable(int *table, int table_rank) { //输出赛程表 for(int i = 0; i < table_rank; ++i) { for(int j = 0; j < table_rank; ++j) cout << *(table+i*table_rank+j) <<' '; cout<<endl; } }

算法分析:

我们可以通过使用一个二维数组来记录矩阵,虽然这里你看到的一个一维的数组,这是因为运动员的人数是通过输入来确定的,所以必须使用动态内存分配,也就不能事先确定数组的第二维(即列数)的大小,所以只好使用一个一维数组当二维数组使用。然后使用变量table_rank来确定赛程表的阶数(也可理解为一行有多少列,或运动员的人数)。表达式table+i*table_rank+j用于找出第i行第j列的元素的地址,所以*(table+i*table_rank+j)就相当于平时大家熟悉的table[i][j]。

如果事先已经确定了人数,也可以不使用动态内存分配,而使用全局变量来实现,则函数GSchedule可少用前面的两个参数。

相关资源:赛程安排中的数学问题.pdf
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