definition definition 群：一个群是一个集合G带有一个二元运算， 这个二元运算一般称为乘法 ⋅:G×G→G ⋅ : G × G → G ，将 (a,b)记作a⋅b或者ab ( a , b ) 记 作 a ⋅ b 或 者 a b ，称为积。 群的判定：①运算 ⋅ ⋅ 满足结合律；②运算的群中存在单位元；③任意群元素在运算下存在逆元。
若满足交换律，称这种群为阿贝尔群。
definition definition 子群：设 G G 是群，则GG的子集 H H 若满足群的性质，称HH是 G G 的子群，记作H⩽GH⩽G。 子群的判定：①封闭；②群 G G 的单位元e∈He∈H；③若 a∈H,G a ∈ H , G ，则 a−1∈H,G a − 1 ∈ H , G 。
显然 {e} { e } 和 G G 是群GG的子群，称为平凡子群。 {e} { e } 称为群 G G 的零子群（只有一个元的群称为零群）。
举例：整数集ZZ是加法阿贝尔群， nZ n Z 是整数集的子群。
definition definition 若群 G G 是有限集，则称其为有限群。群GG的基数称为 G G 的阶，记作|G||G|.若G不是有限集，记 |G|=∞ | G | = ∞ 。
Example Example 研究集合 S S 的置换组成的集合Per(S)Per(S)的性质： 对任意 σ,τ∈Per(S) σ , τ ∈ P e r ( S ) ，有 σ∘τ∈Per(S) σ ∘ τ ∈ P e r ( S ) ，并且显然 ∘ ∘ 在 Per(S) P e r ( S ) 上有结合律. 对任意 σ∈Per(S) σ ∈ P e r ( S ) ，恒等映射 idS i d S 满足 idS∘σ=σ∘idS=σ∈Per(S) i d S ∘ σ = σ ∘ i d S = σ ∈ P e r ( S ) .所以 idS i d S 是 Per(S) P e r ( S ) 上的单位元. 对任意 σ∈Per(S) σ ∈ P e r ( S ) ，因为其为双射有其逆映射 σ−1∈Per(S) σ − 1 ∈ P e r ( S ) . 所以 ⟨Per(S),∘⟩ ⟨ P e r ( S ) , ∘ ⟩ 是群。
Example Example 有n个元素集合上的置换称为n次对称群，记作 Sn S n . 对任意 σ∈Sn σ ∈ S n ，有 σΔ=∏1⩽i<j⩽n(σ(j)−σ(i))=±∏i=2n−1i! σ Δ = ∏ 1 ⩽ i < j ⩽ n ( σ ( j ) − σ ( i ) ) = ± ∏ i = 2 n − 1 i ! 。若 σΔ σ Δ 为正，称该置换为偶置换，否则为奇置换。 所有的偶置换也组成一个群，称为交错群，记作 An A n . 两个群之间的映射如果是相容的，则称为同态。
definition definition 若 f:G→G′ f : G → G ′ ,且 ∀a,b∈G，有f(ab)=f(a)f(b) ∀ a , b ∈ G ， 有 f ( a b ) = f ( a ) f ( b ) ，则称 f f 是群同态。
同态将单位元映射成单位元，将逆元映射成逆元。 更一般的说同态将子群映射成子群，将nn次幂映射成 n n 次幂。
若群同态ff是满射，单射和双射，则分别称群同态 f f 是满同态，单同态，同构。
Example Example 设 f:S→T f : S → T 为双射，则有对任意 σ∈Per(S) σ ∈ P e r ( S ) ，给出一个映射 ϕσ=f∘σ∘f−1:T→T ϕ σ = f ∘ σ ∘ f − 1 : T → T 。现在研究该映射性质。 ϕσ∘ϕτ=f∘σ∘f−1∘f∘τ∘f−1=f∘σ∘τ∘f−1=ϕσ∘τ ϕ σ ∘ ϕ τ = f ∘ σ ∘ f − 1 ∘ f ∘ τ ∘ f − 1 = f ∘ σ ∘ τ ∘ f − 1 = ϕ σ ∘ τ .同时若 τ=σ−1 τ = σ − 1 ，则 ϕσ∘ϕτ=ϕτ∘ϕσ=idT ϕ σ ∘ ϕ τ = ϕ τ ∘ ϕ σ = i d T ，所以 ϕσ∈Per(T) ϕ σ ∈ P e r ( T ) . 于是给出 Φf:Per(S)→Per(T),σ↦ϕσ Φ f : P e r ( S ) → P e r ( T ) , σ ↦ ϕ σ ，是同态。易证其是同构。 (从中可以猜想若 f f 是双射，则由ff诱导的同态是同构？)
