第4章 不定积分

第一节 不定积分的概念与性质

原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间 I 上，可导函数 F(x) 的导函数为 f(x) ，即对任一 x∈I ，都有 F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx 那么函数 F(x) 就称为 f(x) (或 f(x)dx )在区间 I 上的原函数。 原函数存在定理 如果函数 f(x) 在区间 I 上连续，那么在区间 I 上存在可导函数 F(x) ，使对任一 x∈I 都有 F′(x)=f(x) 简单地说就是：连续函数一定有原函数。 定义2 在区间 I 上，函数 f(x) 的带有任意常数项的原函数称为 f(x) (或 f(x)dx )在区间 I 上的不定积分，记作 ∫f(x)dx 其中记号 ∫ 称为积分号， f(x) 称为被积函数， f(x)dx 称为被积表达式， x 称为积分变量。即 ∫f(x)dx=F(x) C 重要关系 由于 ∫f(x)dx 是 f(x) 的原函数，所以 ddx[∫f(x)dx]=f(x) 或 d[∫f(x)dx]=f(x)dx 又由于 F(x) 是 F′(x) 的原函数，所以 ∫F′(x)dx=F(x)+C 或记作 ∫dF(x)=F(x)+C 由此可见，微分运算(以记号 d 表示)与求不定积分的运算(简称积分运算，以记号 ∫ 表示)是互逆的。当记号 ∫ 与 d 连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数。 基本积分表 ∫kdx=kx Ck 是常数 ∫xμdx=xμ+1μ+1+C(μ≠−1) ∫dxx=ln|x|+C ∫dx1+x2=arctanx+C ∫dx1−x2‾‾‾‾‾‾√=arcsinx+C ∫cosxdx=sinx+C ∫sinxdx=−cosx+C ∫dxcos2x=∫sec2xdx=tanx+C ∫dxsin2x=∫csc2xdx=−cotx+C ∫secxtanxdx=secx+C ∫cscxcotxdx=−cscx+C ∫exdx=ex+C ∫axdx=axlna+C 不定积分的性质 性质1 设函数 f(x) 及 g(x) 的原函数存在，则 ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx 性质2 设函数 f(x) 的原函数存在， k 为非零常数，则 ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

第二节 换元积分法

第一类换元法 定理1 设 f(u) 具有原函数， u=φ(x) 可导，则有换元公式 ∫f[φ(x)]φ′(x)dx=[∫f(u)du]u=φ(x) 第二类换元法 定理2 设 x=ψ(t) 是单调的、可导的函数，并且 ψ′(t)≠0 。又设 f[ψ(t)]ψ′(t) 具有原函数，则有换元公式 ∫f(x)dx=[∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt]t=Φ−1(x) 积分表 ∫shxdx=chx+C ∫chxdx=shx+C ∫tanxdx=−ln|cosx|+C ∫cotxdx=ln|sinx|+C ∫secxdx=ln|secx+tanx|+C ∫cscxdx=ln|cscx−cotx|+C ∫dxa2+x2=1aarctanxa+C ∫dxx2−a2=12aln∣∣∣x−ax+a∣∣∣+C ∫dxa2−x2‾‾‾‾‾‾‾√=arcsinxa+C ∫dxa2+x2‾‾‾‾‾‾‾√=ln(x+x2+a2‾‾‾‾‾‾‾√)+C ∫dxx2−a2‾‾‾‾‾‾‾√=ln|x+x2−a2‾‾‾‾‾‾‾√|+C

第三节 分部积分法

分部积分法 分部积分法公式 ：设函数 u=u(x) 及 v=v(x) 具有连续导数，那么，两个函数乘积的导数公式为 (uv)′=u′v+uv′ ，移项，得 uv′=(uv)′−u′v ，对这个等式两边求不定积分，得 ∫uv′dx=uv−∫u′vdx 为简便起见，也可写成 ∫udv=uv−∫vdu

第四节 有理函数的积分

有理函数的积分可化为有理函数的积分举例

第五节 积分表的使用