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前言:本文在翻译过程中，为了便于理解，某些句子可能和原文有一定的出入。但是整体上没有太大的改动，由于本人水平有限，翻译或者理解不对的地方，欢迎指正，不胜感激。

Softmax 分类函数

本例子包括以下内容: * softmax 函数 * 交叉熵（Cross-entropy） 损失函数

在上一个例子中，我们介绍了如何利用 logistic 函数来处理二分类问题。

对于多分类问题，在处理多项式 logistic 回归（multinomial logistic regression）中，用到 logistic 函数的一种扩展形式，叫做 softmax 函数。下面的内容将会介绍 softmax 函数及其求导方式。

首先，导入需要用到的 python 库函数。

# Python imports import numpy as np # Matrix and vector computation package import matplotlib.pyplot as plt # Plotting library from matplotlib.colors import colorConverter, ListedColormap # some plotting functions from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D # 3D plots from matplotlib import cm # Colormaps # Allow matplotlib to plot inside this notebook %matplotlib inline

1. Softmax 函数

在上个例子中，我们介绍了logistic 函数 ，但是它只能用于处理二分类问题 t=1 或者 t=0 。现在我们来介绍它的一个推广的形式， softmax 函数，在多分类问题中它能够输出每个类别的预测概率。 softamx 函数 ς 的输入是一个 C -维的向量 z ，输出也是一个 C -维的向量 y , y 的每个元素都是介于 0 和 1 的一个实数值。这个函数形式为归一化的指数函数，定义如下:

yc=ς(z)c=ezc∑Cd=1ezdforc=1⋯C

其中，分母 ∑Cd=1ezd 作为一个正则化矩阵，确保所有类别的概率值和为 1： ∑Cc=1yc=1 . 在神经网络中，softmax 函数一般作为最后的输出层，所以 softmax 函数可以图形化地表示为一个拥有 C 个节点的神经层。

对于给定输入 z ，我们可以按照下面的公式计算每个类别的概率：

⎡⎣⎢⎢P(t=1|z)⋮P(t=C|z)⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢ς(z)1⋮ς(z)C⎤⎦⎥⎥=1∑Cd=1ezd⎡⎣⎢⎢ez1⋮ezC⎤⎦⎥⎥

对于给定的输入 z ， P(t=c|z) 就是该样本预测属于类别 c 的概率。

以一个二分类问题为例：对于输入 z=[z1,z2]， 输出预测属于类别 1 的概率 P(t=1|z) 如下图所示。输出预测为另一个类别 P(t=2|z) 的概率值大小刚好和图中结果互补。

# Define the softmax function def softmax(z): return np.exp(z) / np.sum(np.exp(z)) # Plot the softmax output for 2 dimensions for both classes # Plot the output in function of the weights # Define a vector of weights for which we want to plot the ooutput nb_of_zs = 200 zs = np.linspace(-10, 10, num=nb_of_zs) # input zs_1, zs_2 = np.meshgrid(zs, zs) # generate grid y = np.zeros((nb_of_zs, nb_of_zs, 2)) # initialize output # Fill the output matrix for each combination of input z's for i in range(nb_of_zs): for j in range(nb_of_zs): y[i,j,:] = softmax(np.asarray([zs_1[i,j], zs_2[i,j]])) # Plot the cost function surfaces for both classes fig = plt.figure() # Plot the cost function surface for t=1 ax = fig.gca(projection='3d') surf = ax.plot_surface(zs_1, zs_2, y[:,:,0], linewidth=0, cmap=cm.coolwarm) ax.view_init(elev=30, azim=70) cbar = fig.colorbar(surf) ax.set_xlabel('$z_1$', fontsize=15) ax.set_ylabel('$z_2$', fontsize=15) ax.set_zlabel('$y_1$', fontsize=15) ax.set_title ('$P(t=1|\mathbf{z})$') cbar.ax.set_ylabel('$P(t=1|\mathbf{z})$', fontsize=15) plt.grid() plt.show()

2. softmax 函数求导

为了在神经网络中使用 softmax 函数，我们需要对它进行求导。假设我们定义 ΣC=∑Cd=1ezd。forc=1⋯C ，预测属于类别 c 的概率值 yc=ezc/ΣC, 那么输出 y 对输入 z 的导数 ∂yi/∂zj 可以写成下面形式：

ifi=j:ifi≠j:∂yi∂zi=∂eziΣC∂zi=eziΣC−ezieziΣ2C=eziΣCΣC−eziΣC=eziΣC(1−eziΣC)=yi(1−yi)∂yi∂zj=∂eziΣC∂zj=0−eziezjΣ2C=−eziΣCezjΣC=−yiyj

注意，若 i=j ，那么求导结果和 logistic 函数是一样的。

3. softmax 函数的交叉熵损失函数

首先我们看一下似然函数: 和 logistic 回归的损失函数一样，似然函数表示对于给定的模型参数集 θ ，模型能够正确预测输入样本的可能性。最大化似然函数可以写成下面的形式：

argmaxθL(θ|t,z)=argmaxθ∏i=1nL(θ|ti,zi)

根据似然函数的定义， L(θ|t,z) 可以写成联合概率 的方式,在给定参数 θ 时，模型产生 t 和 z 的概率: P(t,z|θ) . Since P(A,B)=P(A|B)∗P(B) ，这个又可以写成下面形式:

P(t,z|θ)=P(t|z,θ)P(z|θ)

由于我们并不需要关心 z 的概率，上式可以简化为： L(θ|t,z)=P(t|z,θ) . 所以对于给定的 θ ，可以写成 P(t|z) .

由于每个样本的类别 ti 都是和整个输入 z 相关的，而且 t 中有且只有一个类别会激活该函数，所以可以将上面的概率函数写成下面的形式：

P(t|z)=∏c=1CP(tc|z)tc=∏c=1Cς(z)tcc=∏c=1Cytcc

译者注：原文没有提到，但是我认为作者说的只有一个类别会激活 cross-entropy 损失函数的意思是指， t 是一个 one-hot 向量，只有真实类别所对应的那个元素取值为1， 其他元素取值为0。

和之前在 logistic 函数中提到的那样，最大化似然函数等价于最小化负的对数似然函数：

−logL(θ|t,z)=ξ(t,z)=−log∏c=1Cytcc=−∑c=1Ctc⋅log(yc)

译者注：原文中的交叉熵损失函数的公式和我上面写的是不一样的，原文中是这样：

−logL(θ|t,z)=ξ(t,z)=−log∏i=cCytcc=−∑i=cCtc⋅log(yc) 但我不太理解下面从 i=c 开始是什么意思。我认为应该是我上面写的 类别 c 从 1 到 C，不知道是作者笔误还是我理解错了。

这就是我们所说的交叉熵损失函数 ξ .

对于二分类问题 t2=1−t1 ，这个结果和之前在 logistic 回归中的损失函数是一样的：

ξ(t,y)=−tclog(yc)−(1−tc)log(1−yc)

那么对于一批数量为 n 的样本集，交叉熵损失函数计算如下：

ξ(T,Y)=∑i=1nξ(ti,yi)=−∑i=1n∑c=1Ctic⋅log(yic)

其中当样本 i 属于类别 c 的时候， tic 取值为 1（否则为0)。 yic 表示对于输入样本 i ，模型输出属于类别 c 的概率大小。

4. softmax 函数的交叉熵损失函数求导

损失函数对 softmax 函数的输入 zi 进行求导： ∂ξ/∂zi ，推导如下：

译者注：注意下标的含义，在上面我们用 i 表示第 i 个样本，用 c 表示类别。但是这里下标 j 表示预测的类别， i 表示样本的真实类别。

∂ξ∂zi=−∑j=1C∂tjlog(yj)∂zi=−∑j=1Ctj∂log(yj)∂zi=−∑j=1Ctj1yj∂yj∂zi=−tiyi∂yi∂zi−∑j≠iCtjyj∂yj∂zi=−tiyiyi(1−yi)−∑j≠iCtjyj(−yjyi)=−ti tiyi ∑j≠iCtjyi=−ti ∑j=1Ctjyi=−ti yi∑j=1Ctj=yi−ti

注意，前面我们已经推导过 ∂yj/∂zi for i=j and i≠j .

从上面结果可以看出，和 logistic 回归中一样，交叉熵损失函数对所有类别 i∈C 的样本求导结果都是一样的： ∂ξ/∂zi=yi−ti 。

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