A1 = ?

Time Limit: 5000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)

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Problem Description

有如下方程：Ai = (Ai-1 + Ai+1)/2 - Ci (i = 1, 2, 3, …. n). 若给出A0, An+1, 和 C1, C2, …..Cn. 请编程计算A1 = ?

Input

输入包括多个测试实例。 对于每个实例，首先是一个正整数n,(n <= 3000); 然后是2个数a0, an+1.接下来的n行每行有一个数ci(i = 1, ….n);输入以文件结束符结束。

Output

对于每个测试实例，用一行输出所求得的a1(保留2位小数).

Sample Input

1 50.00 25.00 10.00 2 50.00 25.00 10.00 20.00

Sample Output

27.50 15.00

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解题思路：

（解析来自大神的博客）

因为：Ai=(Ai-1+Ai+1)/2 - Ci, A1=(A0 +A2 )/2 - C1; A2=(A1 + A3)/2 - C2 , … => A1+A2 = (A0+A2+A1+A3)/2 - (C1+C2) => A1+A2 = A0+A3 - 2(C1+C2) 同理可得： A1+A1 = A0+A2 - 2(C1) A1+A2 = A0+A3 - 2(C1+C2) A1+A3 = A0+A4 - 2(C1+C2+C3) A1+A4 = A0+A5 - 2(C1+C2+C3+C4) … A1+An = A0+An+1 - 2(C1+C2+…+Cn) —————————————————– 左右求和 (n+1)A1+(A2+A3+…+An) = nA0 +(A2+A3+…+An) + An+1 - 2(nC1+(n-1)C2+…+2Cn-1+Cn)

=> (n+1)A1 = nA0 + An+1 - 2(nC1+(n-1)C2+…+2Cn-1+Cn)

=> A1 = [nA0 + An+1 - 2(nC1+(n-1)C2+…+2Cn-1+Cn)]/(n+1)

为了把这段推导公式看懂着实费了不少时间，这里就写一个详细版的吧。

由 A i = (A i-1 + A i+1)/2 - C i 得 A1 =( A0 + A2) / 2 - C1 A2 = ( A1 + A3 ) / 2 - C2 两者相加 ：A1+A2=(A0+A2+A1+A3)/2 - (C1+C2) 两边同时乘2 ，整理可得 A1+A2=A0+A3-2(C1+C2) 同理，A1+A3=(A0+A2+A2+A4)/2-(C1+C3) 两边同时乘2，将A2 = ( A1 + A3 ) / 2 - C2 带入上式， 整理得：A1+A3=A0+A4 - 2(C1+C2+C3) 到这一步基本上能看出规律了 A1+A4=A0+A5 - 2(C1+C2+C3+C4)以及后面的就不一一推导了 有了A1+An=A0+An+1-2(C1+C2+….+Cn)这一规律，再去看大神的推导就很容易了

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Code：

#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; int main() { int n; while(scanf("%d",&n)!=EOF) { double a0,an,c; scanf("%lf%lf",&a0,&an); double sum=0; for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%lf",&c); sum+=c*(n-i+1); } sum=(n*a0+an-2*sum)/(n+1); printf("%.2f\n",sum); } return 0; }