四川的方伯伯为了致富,决定引进海南的椰子树。方伯伯的椰子园十分现代化,椰子园中有一套独特的交通系统。
现在用点来表示交通节点,边来表示道路。这样,方伯伯的椰子园就可以看作一个有 n + 2 个交通节点,m条边的有向无环图。 n + 1 n +1 n+1 号点为入口, n + 2 n+2 n+2 号点为出口。每条道路都有 6 6 6 个参数, u i u_i ui, v i v_i vi, a i a_i ai, b i b_i bi, c i c_i ci, d i d_i di,分别表示,该道路从 u i u_i ui 号点通向 v i v_i vi 号点,将它的容量压缩一次要 a i a_i ai 的花费,容量扩大一次要 b i b_i bi 的花费,该条道路当前的运输容量上限为 c i c_i ci,并且每单位运输量通过该道路要 d i d_i di 的费用。
在这个交通网络中,只有一条道路与起点相连。因为弄坏了这条道路就会导致整个交通网络瘫痪,聪明的方伯伯决定绝不对这条道路进行调整,也就是说,现在除了这条道路之外,对其余道路都可以进行调整。
有两种调整方式:
选择一条道路,将其进行一次压缩,这条道路的容量会下降 1 1 1 单位。选择一条道路,将其进行一次扩容,这条道路的容量会上升 1 1 1 单位。一条道路可以被多次调整。
由于很久以前,方伯伯就请过一个工程师,对这个交通网络进行过一次大的优化调整。所以现在所有的道路都被完全的利用起来了,即每条道路的负荷都是满的(每条道路的流量等于其容量)。
但方伯伯一想到自己的海南椰子会大丰收,就十分担心巨大的运输量下,会导致过多的花费。因此,方伯伯决定至少进行一次调整,调整之后,必须要保持每条道路满负荷,且总交通量不会减少。
设调整后的总费用是 Y Y Y,调整之前的总费用是 X X X。现在方伯伯想知道,最优调整比率是多少,即假设他进行了 k k k 次调整, X − Y k \frac{X - Y}{k} kX−Y最大能是多少?
注:总费用 = = = 交通网络的运输花费 + 调整的花费
第一行包含二个整数 N N N, M M M接下来 M M M行代表 M M M条边,表示这个交通网络每行六个整数,表示 U i , V i , A i , B i , C i , D i U_i,V_i,A_i,B_i,C_i,D_i Ui,Vi,Ai,Bi,Ci,Di接下来一行包含一条边,表示连接起点的边
一个浮点数,保留二位小数。表示答案,数据保证答案大于 0 0 0
1 ≤ N ≤ 5000 , 0 ≤ M ≤ 3000 , 1 ≤ U i , V i ≤ N + 2 , 0 ≤ A i , B i ≤ 500 , 0 ≤ C i ≤ 10000 , 0 ≤ D i ≤ 1000 1\leq N\leq 5000, 0\leq M\leq 3000, 1\leq Ui,Vi\leq N+2, 0\leq Ai,Bi\leq 500, 0\leq Ci\leq 10000, 0\leq Di\leq 1000 1≤N≤5000,0≤M≤3000,1≤Ui,Vi≤N+2,0≤Ai,Bi≤500,0≤Ci≤10000,0≤Di≤1000
看题目所求, 显然是一道分数规划, 然而我们应该如何构图?
假设原来 D A G DAG DAG的一部分是这个样子的:
如果我们要将一部分道路的流量缩小(例如上图靠左的一半路径), 并保证所有边仍然满流, 那么肯定会将这些路径的流量都 − 1 -1 −1,其他部分的边的流量 + 1 +1 +1。具体而言会变成这样:
显然就形成了一个环。 那么我们单位流量沿着红色边走的代价就是 a − d a-d a−d(因为相当于减少了流量),沿着绿色边走的代价就是 b + d b+d b+d。
我们设 a n s = m a x { X − Y k } ans=max\{\frac{X-Y}{k} \} ans=max{kX−Y}, 那么对于图中的任何一个环都有 a n s × k ≥ X − Y ans\times k\ge X-Y ans×k≥X−Y(在这里 X − Y X-Y X−Y就是如上图所示环中原来的边与红色边和绿色边代价和的差)。 因为我们是求一个最值, 所以我们只需要关心单位流量的情况, 即只要 c ≠ 0 c\neq 0 c̸=0即可从 v v v向 u u u连边。
考虑如何将 a n s × k ans\times k ans×k带入计算。 我们发现环中其实就有 k k k个点, 那么二分 a n s ans ans, 把对应的边权加上 a n s ans ans就好。如果跑 S P F A SPFA SPFA时仍然有负环, 那么仍然满足要求, 可以提升二分下界, 否则降低上界。
另外, 注意图中共有 n + 2 n+2 n+2个点! 否则会 W A WA WA到天边…
代码如下:
#include <cstdio> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <algorithm> #include <cctype> #include <cmath> #define R register #define IN inline #define W while #define gc getchar() #define MX 5050 #define db double #define ll long long #define EPS 1e-3 template <class T> IN void in(T &x) { x = 0; R char c = gc; for (; !isdigit(c); c = gc); for (; isdigit(c); c = gc) x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48; } int dot, line, cnt; int head[MX]; db dis[MX]; bool vis[MX]; struct Edge {int to, len, nex;} edge[MX << 3]; IN void add(R int from, R int to, R int len) {edge[++cnt] = {to, len, head[from]}, head[from] = cnt;} bool SPFA(R int now, db tar) { vis[now] = true; for (R int i = head[now]; i; i = edge[i].nex) { if(dis[edge[i].to] > dis[now] + edge[i].len + tar) { dis[edge[i].to] = dis[now] + edge[i].len + tar; if(vis[edge[i].to]) return true; if(SPFA(edge[i].to, tar)) return vis[now] = false, true; } } return vis[now] = false; } IN bool check(db tar) { std::memset(vis, false, sizeof(vis)); std::memset(dis, 0, sizeof(dis)); for (R int i = 1; i <= dot; ++i) if(SPFA(i, tar)) return true; return false; } IN void solve() { db lef = 0, rig = 1e8, mid; W(rig - lef > EPS) { mid = (lef + rig) / 2; if(check(mid)) lef = mid; else rig = mid; } printf("%.2lf", mid); } int main(void) { int u, v, a, b, c, d; in(dot), in(line); dot += 2; for (R int i = 1; i <= line; ++i) { in(u), in(v), in(a), in(b), in(c), in(d); if(c) add(v, u, a - d); add(u, v, b + d); } solve(); }