汉诺塔问题探讨

原题目

​ 有三根柱子，每根柱子上一开始都是空的。我们把这三个柱子编号为1, 2, 3，现在，第一根柱子上有 N 个盘子按照尺寸从小到大排列，我们的目的是把这些盘子按顺序从第一根柱子转移到第三根上。在移动过程中有要求，即每个柱子上要想往上叠加盘子，只能叠加比它尺寸小的盘子。那么我们该怎么挪？

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思路

​ 我们先想这样一个思路，就是我们先定义一个函数kansu(x,y,z)，这个函数的功能是把 x 柱子上的y个盘子按照顺序移动到 z 柱子上。在想的过程中，一定不要考虑要怎么移动，只要知道我们要移动就好了。这样，调用一遍kansu(A,N−1,B)，现在 B 柱子上就有依次叠好的N−1个盘子了， A 上就只剩下最大的那一个，C上一个也没有。现在我们分析一下， A 上只有一个最大的，也就是说可以在A上放置任意一个盘子。那么，把 A 上剩下的那个最大的移动到C上，那么 C 上的那个就是最大的了。现在，A是空的， B 上有N−1个， C 上有一个最大的。

​ 这里大家注意一下，一开始A柱子上有 N 个盘子，B柱子和 C 柱子上都没有盘子，而现在A上没有， B 上N−1个， C 上一个最大的。正因为C上有一个最大的，所以上面可以放任意一个盘子，也就等价于空的。这样，我们就把我们要解决的移动 N 个盘子的问题简化成了移动N−1个盘子的问题（只是位置不同），而这正是利用了递归的思想。

​ 现在我们完成了把一个最大的挪到 C 上的任务了，那么我们最终的任务就明了了，就是把每次的最大的挪到C柱子上，这样最大的越积越多，积到 N <script type="math/tex" id="MathJax-Element-33">N</script>个我们就得到结果了。

伪代码

S1:利用Kansu(A, N - 1, B)将A上的N - 1个盘子按照顺序移动到B柱子上 S2:利用Move(A, C)将A柱子上剩下的一个最大的盘子移动到C柱子上 S3:利用Kansu(B, N - 2, A)将B上的N - 2个盘子按照顺序移动到B柱子上 ...... 最后在一个一个Move的过程中，C上就按照从大到小的顺序垒好了N个盘子。

C++代码

#include <cmath> #include <iostream> void Hanoi(const int n, const int A, const int B, const int C) { if (n > 0) { Hanoi(n - 1, A, C, B); std::cout << n << " from " << char (64 + t.x) << " to " << char (64 + t.y) << '\n'; Hanoi(n - 1, C, A, B); } } int main(int argc, char ** argv) { int n; std::cin >> n; std::cout << std::pow(2, n) - 1 << std::endl; // 2^n - 1 表示步数总数 Hanoi(n, 1, 3, 2); return 0; }