魔法数字 (magic.cpp/c/pas)
题目描述 在数论领域中， 人们研究的基础莫过于数字的整除关系。 一般情况下， 我 们说整除总在两个数字间进行，例如 a | b（a 能整除 b） 表示 b 除以 a 的余数为 0。 我们称一个数字 X 是魔法的，当且仅当 X 是整数，且它能被 K 及 K 以上 种一位数整除， 要求这若干种一位数均在 X 的十进制表示中出现。 给出整数 K、 L、 R，请你计算出在区间[L, R]中，有多少个魔法数字。
输入格式 一行三个整数 K、 L、 R。
输出格式 输出一行一个整数， 表示该区间内魔法数字的个数。
样例数据 magic.in 2 1 20 magic.out 2
【数据范围】 对于 30%的数据， 1 ≤ L ≤ R ≤ 105 ； 对于 50%的数据， 1 ≤ L ≤ R ≤ 106 ； 对于 70%的数据， 1 ≤ L ≤ R ≤ 109 ； 对于 100%的数据， 1 ≤ L ≤ R ≤ 1018 、 0 ≤ K ≤ 9。 分析：60%:暴力。 100%：
代码 60%（本人考场所打）：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<algorithm> #include<cctype> #include<iomanip> #include<queue> #include<set> using namespace std; int k,l,r,ans; int num[1000100]; int getint() { int sum=0,f=1; char ch; for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar()); if(ch=='-') { f=-1; ch=getchar(); } for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-48; return sum*f; } bool check(int x,int m) { while(x) { int q=x%10; if(q==m) return true; x=x/10; } return false; } int main() { freopen("magic.in","r",stdin); freopen("magic.out","w",stdout); k=getint();l=getint();r=getint(); for(int i=l;i<=r;++i)//把[1,r]所有数有多少个能除尽并且含有的数字都算出来，存在 num数组里 { for(int j=1;j<=9;++j) if(i%j==0&&check(i,j)) num[i]++; } for(int i=l;i<=r;++i)//枚举，如果num[i]>=k，那这个数就是满足的 if(num[i]>=k) ans++; printf("%d\n",ans); return 0; }100%（dfs部分已经完全弄懂，注释添加完毕）：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<algorithm> #include<cctype> #include<iomanip> #include<queue> #include<set> using namespace std; int k; long long l,r,ans,bit[20],dp[20][512][252][2]; int len,mark[20]; int getint()//读入优化1 { int sum=0,f=1; char ch; for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar()); if(ch=='-') { f=-1; ch=getchar(); } for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-48; return sum*f; } long long getlong()//读入优化2 { long long sum=0; int f=1; char ch; for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar()); if(ch=='-') { f=-1; ch=getchar(); } for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-48; return sum*f; } void solve(long long x)//计算[0,x]中x的位数并存储每一位的数字 { memset(mark,0,sizeof(mark)); memset(dp,-1,sizeof(dp)); for(int i=1;i<20;++i) if(x<bit[i]) { len=i; break; } for(int i=len;i>=1;--i) { mark[i]=x%10; x=x/10; } } long long dfs(int pos,int vis,int mod,bool limit)//从最高位开始深搜（pos代表从最高位起第几位，vis是个九位二进制数，用来存前面枚举的数中出现过的数字，相当于一个九维数组，出现过的在对应位数上变为1，没出现过是0，mod是取模，就是题解中的p，limit判断是否封顶） { if(pos>len)//已经把整个数构建出来了，开始判断 { int cnt=0; if(vis&1)cnt++;//有没有1且被1整除（当然所有数被1整除） if(vis&(1<<1)&&mod%2==0)cnt++;//有没有2且被2整除（vis&(1<<1)就是判断二进制数第2为是不是1，也就是判断2有没有出现过） if(vis&(1<<2)&&mod%3==0)cnt++;//有没有3且被3整除 if(vis&(1<<3)&&mod%4==0)cnt++;//...... if(vis&(1<<4)&&mod%5==0)cnt++; if(vis&(1<<5)&&mod%6==0)cnt++; if(vis&(1<<6)&&mod%7==0)cnt++; if(vis&(1<<7)&&mod%8==0)cnt++; if(vis&(1<<8)&&mod%9==0)cnt++; if(cnt>=k)return 1;//是否满足题意 else return 0; } mod%=252;//1到9的最小公倍数本来是2520，单独判断5和8可以压缩到252（mod就是题解中的p） if(dp[pos][vis][mod][limit]!=-1)//若已经算过，直接返回值 return dp[pos][vis][mod][limit]; int end; if(limit)//要是limit是true代表前面的数字已经封顶（如：右边界为152834，现在已经枚举到第四位而前三个数是152，也就是第四位只能枚举1到8） end=mark[pos]; else end=9; long long res=0; for(int i=0;i<=end;i++)//往下一位枚举深搜 res+=dfs(pos+1,i?(vis|(1<<i-1)):vis,mod*10+i,limit&&(i==end));//i?(vis|(1<<i-1)):vis的意思是若i有值就把vis对应第i位赋为1，若i=0就不用管直接把vis传递下去，mod*10+i意思是又新加入1位，之前的mod便升一位在个位加上i，limit&&(i==end)的意思是若前面的limit是true（也就是前面的数位封顶了）且i=end（也就是这一位也封顶了），那么给深搜的下一位传递已经封顶的true dp[pos][vis][mod][limit]=res;//记忆 return dp[pos][vis][mod][limit]; } int main() { freopen("magic.in","r",stdin); freopen("magic.out","w",stdout); k=getint();l=getlong();r=getlong(); bit[0]=1; for(int i=1;i<20;++i) bit[i]=bit[i-1]*10;//初始化用于判断数的位数的数组 solve(r); ans=dfs(1,0,0,true);//先算[0,r]中的 magic number solve(l-1); ans-=dfs(1,0,0,true);//减去[0,l-1]中的 magic number cout<<ans<<endl;//得到 ans return 0; }本题结。
