今天写了NP完全问题的习题8.12
题目如下：
The k-SPANING TREE problem is the following.
Input:An undirected graph G=(V,E)
Output:A spanning tree of G in which each node has degree <= k,if such a tree exists.
Show that for any k >= 2: (a) k-SPANNING TREE is a search problem.
(b) k-SPANNING TREE is NP-complete.(Hint: Start with k = 2 and consider the relation between this problem and RUDRATA PATH.)
对于第一问(a)，要证明k-SPANING TREE问题是一个搜索问题，其实很简单。
对于一个k-spanning tree的实例I和一个待确定的解S，S是G的一颗待确定的k生成树，要验证S是否是k生成树，只需要一一遍历S中的每个顶点，验证是否d(v) <= k 对于任意v∈S恒成立，由于v(S) = v(G)，所以时间复杂度为O(v)，所以S在多项式时间内是可验证的，所以k-SPANING TREE是一个搜索问题。
至于第二问(b)，证明k-SPANING TREE问题是NP完全的，由于题目的hint已经给了我们思路了，所以我们从hint入手，寻找k-SPANING TREE问题和RUDRATA PATH问题的关系。
若k-SPANING TREE问题是NP完全的，则其他所有搜索问题都可以规约到它。我们先思考当k=2的情况，如果对于实例G=(V,E)，若k生成树存在，则该生成树中每个顶点度数小于等于2，则该生成树是G的一条最长路，且路径P包含了G的所有顶点，且P的起点与终点的度数为1，显然当k=2时，k生成树问题就是以该生成树的起点和终点为两个端点s，v的Rudrata Path(s,v)问题。
至于当k>2时，我们可以在2-生成树G'上添加其他的边e(e∈G且e∉G')得到G的k生成树，则如果我们可以求出G的2生成树，即求出G的Rudrata Path(s,v)，我们也就可以求出G的k生成树。所以综上RUDRATA PATH问题可以规约到k-SPANING TREE问题。
所以k-SPANING TREE是NP完全问题。
