康托展开的定义:
对于n元素的整数数组,第i元素(从1开始)在数组中按大小顺序的位置应为:a[i]*(n-i)!(a[i]为后续元素中小于该元素的个数)
例如:数组213,对第1元素“2”计算,a[1]=1(小于2的只有1,为1个),a[1]*2!=1*2=2,即“2”按大小顺序为第2个
那么,对所有元素展开计算求和:X=a[1]*(n-1)!+a[2]*(n-2)!+…+a[i]*(n-i)!+…+a[n]*0!,得到的X是该数组在全排列数排中比该数小的个数
例如:
2143 这个数,求其展开:
从头判断,至尾结束,
① 比 2(第一位数)小的数有多少个->1个就是1,1*3!
② 比 1(第二位数)小的数有多少个->0个0*2!
③ 比 4(第三位数)小的数有多少个->3个就是1,2,3,但是1,2之前已经出现,所以是 1*1!
将所有乘积相加=7
比该数小的数有7个,所以该数排第8的位置。
1234 1243 1324 1342 1423 14322134 2143 2314 2341 2413 24313124 3142 3214 3241 3412 3421
4123 4132 4213 4231 4312 4321
康托展开逆运算:
现已知X,求该数组。例如求4数数组中第9位置的数组:
X=9-1=8,
8/3!=1余2,
2/2!=1余0,
0/1!=0余0,
0/0!=0
上式表示a[1]=1,a[2]=1,a[3]=0,a[4]=0。由此得知第一位数为2,后续数为3、1、4,因此数组为2314