专题二：完全背包问题
/*
Name: 背包系列专题之完全背包问题
Author: 巧若拙
Description: 完全背包问题：在n种物品中选取若干件（同一种物品可多次选取）放在容量为c的背包里，分别用P[i]和W[i]存储第i种物品的价值和重量。
求解怎么装物品可使背包里物品总价值最大。
样例输入
4 12
2 3
5 7
6 8
10 12
样例输出
18
*/
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXC = 10000; //背包最大容量
const int MAXN = 2000; //物品的最大个数
int W[MAXN+1];//物品的重量
int P[MAXN+1];//物品的价值
int B1[MAXN+1][MAXC+1]; //记录给定n个物品装入容量为c的背包的最大价值
int B2[MAXN+1][MAXC+1]; //记录给定n个物品装入容量为c的背包的最大价值
int pre[MAXC+1]; //pre[j]相当于B2[i-1][j]
int cur[MAXC+1]; //cur[j]相当于B2[i][j]
int B4[MAXC+1]; //记录最优解
int CompletePack_1(int n, int c);//动态规划+朴素的穷举思想
int CompletePack_2(int n, int c);//动态规划:F[i][j] = max(F[i-1][j], F[i][j-W[i]] + P[i])
int CompletePack_3(int n, int c);//优化的动态规划算法，用2个一维数组代替二维数组
int CompletePack_4(int n, int c);//优化的动态规划算法，一维数组存储记录
int main()
{
int n, c;
cin >> n >> c;
for (int i=1; i<=n; i++)//不计下标为0的元素
{
cin >> W[i] >> P[i];
}
//动态规划+朴素的穷举思想，需要用到全局变量W[], P[], 另有B1[MAXN+1][]初始化为0
cout << CompletePack_1(n, c) << endl;
//动态规划：二维数组存储记录，需要用到全局变量W[], P[], 另有B2[MAXN+1][]默认初始化为0
cout << CompletePack_2(n, c) << endl;
//动态规划：使用2个一维数组存储记录，需要用到全局变量W[], P[], 另有pre[]和cur[]均初始化为0
cout << CompletePack_3(n, c) << endl;
//优化的动态规划算法，一维数组存储记录，需要用到全局变量W[], P[], 另有B4[]初始化为0
cout << CompletePack_4(n, c) << endl;
return 0;
}
算法1：动态规划+朴素的穷举思想，需要用到全局变量W[], P[], 另有B1[MAXN+1][]初始化为0。
int CompletePack_1(int n, int c)//动态规划+朴素的穷举思想
{
for (int i=1; i<=n; i++)
{
for (int j=1; j<=c; j++)
{
int bestP = 0;
for (int k=0; k*W[i]<=j; k++) //语句1
{
if (bestP < B1[i-1][j-k*W[i]] + k*P[i])
bestP = B1[i-1][j-k*W[i]] + k*P[i];
}
B1[i][j] = bestP;
}
}
return B1[n][c];
}
问题1：语句1能否改为：for (int k=j/W[i]; k>=0; k--)？为什么？
参考答案：
问题1：可以，因为语句1所在循环体的作用是穷举装入第i种物品的数量，并计算出能获得的最大价值，循环变量k值递增或递减均可，实际上修改后的语句1效率更高。
算法2：动态规划：二维数组存储记录，需要用到全局变量W[], P[], 另有B2[MAXN+1][]默认初始化为0。
int CompletePack_2(int n, int c)//动态规划:F[i][j] = max(F[i-1][j], F[i][j-W[i]] + P[i])
{
for (int i=1; i<=n; i++)
{
for (int j=1; j<=c; j++) //语句1
{
if (j < W[i])
B2[i][j] = B2[i-1][j];
else
B2[i][j] = max(B2[i-1][j], B2[i][j-W[i]] + P[i]); //语句2
}
}
return B2[n][c];
}
问题1：语句1能否改为：for (int j=c; j>0; j--) ？为什么？
问题2：语句2能否改为：B2[i][j] = max(B2[i-1][j], B2[i-1][j-W[i]] + P[i]);？为什么？
参考答案：
问题1：不能。因为B2[i][j] = max(B2[i-1][j], B2[i][j-W[i]] + P[i]);即B2[i][j]的值可能由B2[i][j-W[i]]来决定，也就是说第i行的某个元素可能由同一行中列坐标j较小的元素来决定，故应该先求出第i行列坐标j较小的元素，再求j较大的元素，则循环变量j要递增。
问题2：不能。因为第i件物品可以装无限次，故做出本次选择之前，背包中可能已经装有第i件物品了，即使本次选择不装第i件物品，也是在给定i个物品的条件下做出的选择，而不是在给定i-1个物品的条件下做出的选择。
若把语句2改为B2[i][j] = max(B2[i-1][j], B2[i-1][j-W[i]] + P[i]);则变成0-1背包问题了。
算法3：动态规划：使用2个一维数组存储记录，需要用到全局变量W[], P[], 另有pre[]和cur[]均初始化为0。
int CompletePack_3(int n, int c)//优化的动态规划算法，用2个一维数组代替二维数组
{
for (int i=1; i<=n; i++)
{
for (int j=1; j<=c; j++)
{
if (j < W[i] || pre[j] > cur[j-W[i]] + P[i])
cur[j] = //语句1
else
cur[j] = //语句2
}
for (int j=0; j<=c; j++)
{
pre[j] = cur[j];
}
}
return cur[c];
}
问题1：将语句1和语句2补充完整。
参考答案：
问题1：语句1：cur[j] = pre[j];
语句2：cur[j] = cur[j-W[i]] + P[i];
算法4：优化的动态规划算法，一维数组存储记录，需要用到全局变量W[], P[], 另有B4[]初始化为0。
int CompletePack_4(int n, int c)//进一步优化的动态规划算法，用1个一维数组代替二维数组
{
for (int i=1; i<=n; i++)
{
for (int j=W[i]; j<=c; j++) //语句1
{
if (B4[j] < B4[j-W[i]] + P[i])
B4[j] = //语句2
}
}
return B4[c];
}
问题1：语句1能否改为：for (int j=c; j>=W[i]]; j--)？为什么？
问题2：将语句2补充完整。
参考答案：
问题1：不能。我们与用二维数组记录结果的算法做比较：
在二维数组算法中B2[i][j] = max(B2[i-1][j], B2[i][j-W[i]] + P[i]); 即B2[i][j]的值可能由B2[i][j-W[i]]来决定，也就是说第i行的某个元素可能由同一行中列坐标j较小的元素来决定，故应该先求出第i行列坐标j较小的元素，再求j较大的元素，则循环变量j要递增。
若我们用一维数组B4[j]代替B2[i][j]，则只记录了列坐标j，未记录行坐标i，在同一行中，必须先求出列坐标j较小的元素，再求j较大的元素。这样先改变的是下标j较小的元素，再利用它来求j较大的元素。故在内层循环中，应该让循环变量j的值从小到大递增。
说明：完全背包问题与0-1背包问题的一维数组算法除了内层循环变量j的值变化方向相反以外，其他部分代码完全相同。但就是这点不同，造成逻辑上的巨大差异。
问题2：语句2：B4[j] = B4[j-W[i]] + P[i];
拓展练习：通过算法2的CompletePack_2()函数，我们用二维数组B2[][]记录了各种解的信息，现在请你根据B2[][]记录的信息，设计一个递归函数void Show(int i, int j);//i和j分别表示正在处理的第i个物品和此时背包的剩余容量。
输出物品装载情况，按照编号顺序，递归输出装入背包的物品信息（编号，数量，重量，价值）。
参考答案：
void Show(int i, int j) //i和j分别表示正在处理的第i个物品和此时背包的剩余容量
{
if (j == 0 || i == 0)
return;
if (B2[i][j] == B2[i-1][j])
{
Show(i-1, j); //未装载物品i
}
else
{
for (int k=j/W[i]; k>0; k--)
{
if (B2[i][j] == B2[i-1][j-k*W[i]] + k*P[i]) //装载了k个物品i
{
Show(i-1, j-k*W[i]);
cout << i << ": " << k << " " << W[i] << " " << P[i] << endl;
return;
}
}
}
}
课后练习：
练习1： 1426_找零钱的程序
描述：现在假设你是个店员,为了方便/准确/最优的找零钱,你设计了一个程序.该程序应该实现如下功能:
第一行输入客户所给你金额
第二行输入客户消费的总金额
第三行输出应找的总零钱是多少
第四行输出各种面额的张数(总金额之和要与第三行的数相等,并且要求货币总张数是最少的方案输出)
注:为了简单,假设上述中的金额都是整数,现规定金额的面值为100,50,20,10,5,1元.并且假定客户的金额总是大于所需支付的总金额.
数据类型用int整数表示．
输入描述 Input Description
第一行输入一个整数(表示客户所付的金额),如100
第二行输入一个整数(表示商品的总计金额),如25
输出描述 Output Description
第一行输出 应找的零钱,如75
第二行输出 金额面值1*张数1+金额面值2+张数2+....+金额面值N*张数N=总零钱数:.(面值较大的零钱优先排在前面，如50元比20元大，应排在前面)
样例输入 Sample Input
样例输入1:
100
25
样例输入2:
95
2
样例输出 Sample Output
样例输出1:(面值较大的零钱优先排在前面)
75
50*1+20*1+5*1=75
样例输出2:(面值较大的零钱优先排在前面)
93
50*1+20*2+1*3=93
练习2：整数划分问题
描述: 所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：
n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。
如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。
这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
例如当n=4时，有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};
注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。
该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。
提示：这是一个典型的完全背包问题，只不过不是求最优解，而是求所有可能的组合，故需要累计所有的组合。
