关键是要理解下文所说的，要求,0的累加个数大于1的累加个数.他们是一一对应的关系，从左到右扫描对应。

参考博客： https://blog.csdn.net/fangjian1204/article/details/38536963

来自博客：https://bbs.csdn.net/topics/320099239 问题描述: 12个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种? 这个笔试题,很YD,因为把某个递归关系隐藏得很深.

问题转换为,这样的满足条件的01序列有多少个. 观察1的出现,我们考虑这一个出现能不能放在第二排,显然,在这个1之前出现的那些0,1对应的人 要么是在这个1左边,要么是在这个1前面.而肯定要有一个0的,在这个1前面,统计在这个1之前的0和1的个数. 也就是要求,0的个数大于1的个数. 对于每个1，1前面的0的个数，要大于1的个数，关系才成立。因为，对应的后面的数要比前面的数大，0比1多，可以满足出现一个1，就去对应他前面的0，这样肯定是后面的数比前面的数大了。

在<<计算机程序设计艺术>>,第三版,Donald E.Knuth著,苏运霖译,第一卷,508页,给出了证明: 问题大意是用S表示入栈,X表示出栈,那么合法的序列有多少个(S的个数为n) 显然有c(2n, n)个含S,X各n个的序列,剩下的是计算不允许的序列数(它包含正确个数的S和X,但是违背其它条件). 博客：https://www.cnblogs.com/Azhu/articles/2436321.html

问题等价于：n个1和n个0组成一2n位的2进制数，要求从左到右扫描，1的累计数不小于0的累计数，试求满足这条件的数有多少？

　　解答： 设P2n为这样所得的数的个数。在2n位上填入n个1的方案数为 C（n 2n）

　　不填1的其余n位自动填以数0。从C（n 2n）中减去不符合要求的方案数即为所求。

　　不合要求的数指的是从左而右扫描，出现0的累计数超过1的累计数的数。

　　不合要求的数的特征是从左而右扫描时，必然在某一奇数2m+1位上首先出现m+1个0的累计数，和m个1的累计数。

　　此 后的2（n－m）－1位上有n－m个1，n－m－1个0。如若把后面这部分2（n－m）－1位，0与1交换，使之成为n－m个0，n－m－1个1，结果得 1个由n+1个0和n－1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n－1个1和n+1个0组成的一个排列。

　　反过来，任何一个 由n+1个0，n－1个1组成的2n位数，由于0的个数多2个，2n是偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面的部分，令0 和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数。即n+1个0和n－1个1组成的2n位数，必对应于一个不合要求的数。

 

　　 用上述方法建立了由n+1个0和n－1个1组成的2n位数，与由n个0和n个1组成的2n位数中从左向右扫描出现0的累计数超过1的累计数的数一一对应。      不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应 因此，序列的个数是c(2n, n-1),因此an = c(2n, n) - c(2n, n-1)

LEETCODE上题目的解法： https://blog.csdn.net/fly_yr/article/details/48754087

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Python 实现递归算法

博客地址：

https://blog.csdn.net/SeeTheWorld518/article/details/47957183

2.2汉诺塔问题

见知乎 https://www.zhihu.com/question/37152936

参考博客 https://blog.csdn.net/hikobe8/article/details/50479669

最长子数组问题、递归动态规划问题

博客地址：https://blog.csdn.net/s969966195/article/details/75905362

解析：在f和s之间循环，当i==j时，退出循环。