还是从麦克斯韦方程推出电磁场的波动方程：
①： ▽×H=J+∂D∂t ▽ × H = J + ∂ D ∂ t ②： ▽×E=−∂B∂t ▽ × E = − ∂ B ∂ t ③： ▽⋅B=0 ▽ ⋅ B = 0 ④： ▽⋅D=ρ ▽ ⋅ D = ρ 其中： D=εE D = ε E B=μH B = μ H
把①②都再求一次旋度：
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪▽×▽×H=▽×J+▽×∂D∂t▽×▽×E=−▽×∂B∂t { ▽ × ▽ × H = ▽ × J + ▽ × ∂ D ∂ t ▽ × ▽ × E = − ▽ × ∂ B ∂ t
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪▽(▽⋅H)−▽2H=▽×J+▽×∂D∂t▽(▽⋅E)−▽2E=−▽×∂B∂t { ▽ ( ▽ ⋅ H ) − ▽ 2 H = ▽ × J + ▽ × ∂ D ∂ t ▽ ( ▽ ⋅ E ) − ▽ 2 E = − ▽ × ∂ B ∂ t
其中： ▽×∂D∂t=▽×D∂t=ε▽×E∂t=ε−∂B∂t∂t=ε∂2B∂t2=με∂2H∂t2 ▽ × ∂ D ∂ t = ▽ × D ∂ t = ε ▽ × E ∂ t = ε − ∂ B ∂ t ∂ t = ε ∂ 2 B ∂ t 2 = μ ε ∂ 2 H ∂ t 2
▽×∂B∂t=∂▽×B∂t=μ∂▽×H∂t=μ∂(J+∂D∂t)∂t=μ∂J∂t+μ∂2D∂t2=μ∂J∂t+με∂2E∂t2 ▽ × ∂ B ∂ t = ∂ ▽ × B ∂ t = μ ∂ ▽ × H ∂ t = μ ∂ ( J + ∂ D ∂ t ) ∂ t = μ ∂ J ∂ t + μ ∂ 2 D ∂ t 2 = μ ∂ J ∂ t + μ ε ∂ 2 E ∂ t 2 辣么上式化为：
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪▽(▽⋅H)−▽2H=▽×J+με∂2H∂t2▽(▽⋅E)−▽2E=−(μ∂J∂t+με∂2E∂t2) { ▽ ( ▽ ⋅ H ) − ▽ 2 H = ▽ × J + μ ε ∂ 2 H ∂ t 2 ▽ ( ▽ ⋅ E ) − ▽ 2 E = − ( μ ∂ J ∂ t + μ ε ∂ 2 E ∂ t 2 ) 又 ∵ ∵ ③和④ 于是：
▽(▽⋅H)=0 ▽ ( ▽ ⋅ H ) = 0 ▽(▽⋅E)=▽(ρε) ▽ ( ▽ ⋅ E ) = ▽ ( ρ ε )
式子又简化成：
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−▽2H=▽×J+με∂2H∂t2▽(ρε)−▽2E=−(μ∂J∂t+με∂2E∂t2) { − ▽ 2 H = ▽ × J + μ ε ∂ 2 H ∂ t 2 ▽ ( ρ ε ) − ▽ 2 E = − ( μ ∂ J ∂ t + μ ε ∂ 2 E ∂ t 2 )再弄成右边只有源且排列整齐：
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪▽2H−με∂2H∂t2=−▽×J▽2E−με∂2E∂t2=▽(ρε)+μ∂J∂t { ▽ 2 H − μ ε ∂ 2 H ∂ t 2 = − ▽ × J ▽ 2 E − μ ε ∂ 2 E ∂ t 2 = ▽ ( ρ ε ) + μ ∂ J ∂ t然后就是两个规范：
⑤库伦规范： B=▽×A B = ▽ × A ⑥洛伦兹规范： ▽⋅A+με∂φ∂t=0 ▽ ⋅ A + μ ε ∂ φ ∂ t = 0 其中 A A 是矢量磁位，φφ是标量电位
为什么我们要弄个什么矢量磁位和标量电位的呢？ 你看，上面那些源不是求散度就是求旋度，正常情况下根本就不好求，所以才会有这样一种东西～ 现在将⑤代入②会得到： ▽×E=−▽×∂A∂t ▽ × E = − ▽ × ∂ A ∂ t 即： ▽×(E+∂A∂t)=0 ▽ × ( E + ∂ A ∂ t ) = 0 但是这种不好看，想写成这样： ▽×▽φ=0 ▽ × ▽ φ = 0 当 E=−▽φ−∂A∂t E = − ▽ φ − ∂ A ∂ t 就好了 这样 E E 和BB都阔以用 A A 和φφ表示了
于是，把 E E 和BB他们代入到有源的①和④两个式子里 最后写出来就是这样的：
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪▽2A−με∂2A∂t2=−μJ▽2φ−με∂2φ∂t2=−ρε { ▽ 2 A − μ ε ∂ 2 A ∂ t 2 = − μ J ▽ 2 φ − μ ε ∂ 2 φ ∂ t 2 = − ρ ε
对比一下，是不是后一个非常简介呢：
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪▽2H−με∂2H∂t2=−▽×J▽2E−με∂2E∂t2=▽(ρε)+μ∂J∂t { ▽ 2 H − μ ε ∂ 2 H ∂ t 2 = − ▽ × J ▽ 2 E − μ ε ∂ 2 E ∂ t 2 = ▽ ( ρ ε ) + μ ∂ J ∂ t ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪▽2A−με∂2A∂t2=−μJ▽2φ−με∂2φ∂t2=−ρε { ▽ 2 A − μ ε ∂ 2 A ∂ t 2 = − μ J ▽ 2 φ − μ ε ∂ 2 φ ∂ t 2 = − ρ ε后两个就叫做”达朗贝尔方程”
