时间复杂度：
一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数f(n)，进而分析f(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。这里用"O"来表示数量级，给出算法的时间复杂度。
T(n)=O(f(n));
它表示随着问题规模的n的增大，算法的执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，这称作算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。而我们一般讨论的是最坏时间复杂度，这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的上界，分析最坏的情况以估算算法指向时间的一个上界。
时间复杂度的分析方法：
1、时间复杂度就是函数中基本操作所执行的次数
2、一般默认的是最坏时间复杂度，即分析最坏情况下所能执行的次数
3、忽略掉常数项
4、关注运行时间的增长趋势，关注函数式中增长最快的表达式，忽略系数
5、计算时间复杂度是估算随着n的增长函数执行次数的增长趋势
6、递归算法的时间复杂度为：递归总次数 * 每次递归中基本操作所执行的次数
常用的时间复杂度有以下七种，算法时间复杂度依次增加：O(1)常数型、O(log2 n)对数型、O(n)线性型、O(n
log2
n)二维型、O(n^2)平方型、O(n^3)立方型、O(2^n)指数型.
空间复杂度：
算法的空间复杂度并不是计算实际占用的空间，而是计算整个算法的辅助空间单元的个数，与问题的规模没有关系。算法的空间复杂度S(n)定义为该算法所耗费空间的数量级。
S(n)=O(f(n))
若算法执行时所需要的辅助空间相对于输入数据量n而言是一个常数，则称这个算法的辅助空间为O(1);
递归算法的空间复杂度：递归深度N*每次递归所要的辅助空间， 如果每次递归所需的辅助空间是常数，则递归的空间复杂度是 O(N)。1、求二分法的时间复杂度和空间复杂度【非递归】：
template<typename T>
T* BinarySearch(T* array,int number,const T& data)
{
assert(number>=0);
int left = 0;
int right = number-1;
while (right >= left){
int mid = (left&right) + ((left^right)>>1);
if (array[mid] > data) right = mid - 1;
else if (array[mid] < data) left = mid + 1;
else return (array + mid);
}
return NULL;
}
分析：
循环的基本次数是
log2 N
，所以:
时间复杂度是O(
log2
N);
由于辅助空间是常数级别的所以：
空间复杂度是O(1);
2、求二分法的时间复杂度和空间复杂度【递归】：
template<typename T>
T* BinarySearch(T* left,T* right,const T& data)
{
assert(left);
assert(right);
if (right >=left) {
T* mid =left+(right-left)/2;
if (*mid == data) return mid;
else if(*mid > data) return BinarySearch(left, mid - 1, data);
else return BinarySearch(mid + 1, right, data);
}
else return NULL;
}
递归的次数和深度都是log2 N,每次所需要的辅助空间都是常数级别的：
时间复杂度:O(log2 N)
空间复杂度：O(log2N)
3、斐波那契数列的时间和空间复杂度
//递归情况下的斐波那契数列
long long Fib(int n)
{
assert(n >= 0);
return n<2 ? n : Fib(n - 1) + Fib(n-2);
}
递归的时间复杂度是： 递归次数*每次递归中执行基本操作的次数
所以时间复杂度是： O(2^N)
递归的空间复杂度是： 递归的深度*每次递归所需的辅助空间的个数
所以空间复杂度是：O(N)
//求前n项中每一项的斐波那契数列的值
long long *Fib(int n)
{
assert(n>=0);
long long *array = new long long[n + 1];
array[0] = 0;
if (n > 0) array[1] = 1;
for (int i = 2; i <n+1; i++) {
array[i] = array[i - 1] + array[i - 2];
}
return array;
}
循环的基本操作次数是n-1,辅助空间是n+1，所以：
时间复杂度O(n)
空间复杂度O(n)
//循环情况下的斐波那契数列
long long Fib(int n)
{
assert(n >= 0);
long long first=0,second=1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
first = first^second;
second = first^second;
first = first^second;
second = first + second;
}
return second;
}
循环的基本次数是n-1，所用的辅助空间是常数级别的：
时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)
