在本部分的练习中，您将使用一个变量实现线性回归，以预测食品卡车的利润。假设你是一家餐馆的首席执行官，正在考虑不同的城市开设一个新的分店。该连锁店已经在各个城市拥有卡车，而且你有来自城市的利润和人口数据。 您希望使用这些数据来帮助您选择将哪个城市扩展到下一个城市。
%matplotlib inline import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt导入数据，并查看
path = 'ex1data1.txt' # names添加列名，header用指定的行来作为标题，若原无标题且指定标题则设为None data = pd.read_csv(path, header=None, names=['Population', 'Profit']) data.head() data.describe()在开始任何任务之前，通过可视化来理解数据通常是有用的。 对于这个数据集，您可以使用散点图来可视化数据，因为它只有两个属性(利润和人口)。 (你在现实生活中遇到的许多其他问题都是多维度的，不能在二维图上画出来。)
data.plot(kind='scatter', x='Population', y='Profit', figsize=(8,5)) plt.show()现在让我们使用梯度下降来实现线性回归，以最小化成本函数。 以下代码示例中实现的方程在“练习”文件夹中的“ex1.pdf”中有详细说明。
首先，我们将创建一个以参数θ为特征函数的代价函数 J ( θ ) = 1 2 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) 2 J\left( \theta \right)=\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{\left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}^{2}}} J(θ)=2m1i=1∑m(hθ(x(i))−y(i))2 其中： h θ ( x ) = θ T X = θ 0 x 0 + θ 1 x 1 + θ 2 x 2 + . . . + θ n x n {{h}_{\theta }}\left( x \right)={{\theta }^{T}}X={{\theta }_{0}}{{x}_{0}}+{{\theta }_{1}}{{x}_{1}}+{{\theta }_{2}}{{x}_{2}}+...+{{\theta }_{n}}{{x}_{n}} hθ(x)=θTX=θ0x0+θ1x1+θ2x2+...+θnxn
计算代价函数 J ( θ ) J(\theta) J(θ)
def computeCost(X, y, theta): inner = np.power(((X * theta.T) - y), 2) return np.sum(inner) / (2 * len(X))让我们在训练集中添加一列，以便我们可以使用向量化的解决方案来计算代价和梯度。
data.insert(0, 'Ones', 1)现在我们来做一些变量初始化。
取最后一列为 y，其余为 X
# set X (training data) and y (target variable) cols = data.shape[1] # 列数 X = data.iloc[:,0:cols-1] # 取前cols-1列，即输入向量 y = data.iloc[:,cols-1:cols] # 取最后一列，即目标向量观察下 X (训练集) and y (目标变量)是否正确.
X.head() # head()是观察前5行 y.head()注意：这里我使用的是matix而不是array，两者基本通用。
但是matrix的优势就是相对简单的运算符号，比如两个矩阵相乘，就是用符号*，但是array相乘不能这么用，得用方法.dot() array的优势就是不仅仅表示二维，还能表示3、4、5…维，而且在大部分Python程序里，array也是更常用的。
两者区别：
对应元素相乘：matrix可以用np.multiply(X2,X1)，array直接X1*X2点乘：matrix直接X1*X2，array可以 X1@X2 或 X1.dot(X2) 或 np.dot(X1, X2)代价函数是应该是numpy矩阵，所以我们需要转换X和Y，然后才能使用它们。 我们还需要初始化theta。
X = np.matrix(X.values) y = np.matrix(y.values) theta = np.matrix([0,0])theta 是一个(1,2)矩阵
np.array([[0,0]]).shape # (1, 2)看下维度，确保计算没问题
X.shape, theta.shape, y.shape # ((97, 2), (1, 2), (97, 1))计算初始代价函数的值 (theta初始值为0).
computeCost(X, y, theta) # 32.072733877455676J ( θ ) = 1 2 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) 2 J\left( \theta \right)=\frac{1}{2m}\sum\limits{i=1}^{m}{{{\left( {{h}{\theta }}\left( {{x}^{(i)}} \right)-{{y}^{(i)}} \right)}^{2}}} J(θ)=2m1∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2
其中： h θ ( x ) = θ T X = θ 0 x 0 + θ 1 x 1 + θ 2 x 2 + . . . + θ n x n {{h}_{\theta }}\left( x \right)={{\theta }^{T}}X={{\theta }_{0}}{{x}_{0}}+{{\theta }_{1}}{{x}_{1}}+{{\theta }_{2}}{{x}_{2}}+...+{{\theta }_{n}}{{x}_{n}} hθ(x)=θTX=θ0x0+θ1x1+θ2x2+...+θnxn 优化： θ j : = θ j − α ∂ ∂ θ j J ( θ ) {{\theta }_{j}}:={{\theta }_{j}}-\alpha \frac{\partial }{\partial {{\theta }_{j}}}J\left( \theta \right) θj:=θj−α∂θj∂J(θ)
θ j : = θ j − α 1 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) x j ( i ) \theta_j:=\theta_j-\alpha\frac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})x_j^{(i)} θj:=θj−αm1i=1∑m(hθ(x(i))−y(i))xj(i) 使用 vectorization同时更新所有的 θ，可以大大提高效率
X.shape, theta.shape, y.shape, X.shape[0] # ((97, 2), (1, 2), (97, 1), 97) def gradientDescent(X, y, theta, alpha, epoch): """reuturn theta, cost""" temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape)) # 初始化一个 θ 临时矩阵(1, 2) parameters = int(theta.flatten().shape[1]) # 参数 θ的数量 cost = np.zeros(epoch) # 初始化一个ndarray，包含每次epoch的cost m = X.shape[0] # 样本数量m for i in range(epoch): # 利用向量化一步求解 temp =theta - (alpha / m) * (X * theta.T - y).T * X # 以下是不用Vectorization求解梯度下降 # error = (X * theta.T) - y # (97, 1) # for j in range(parameters): # term = np.multiply(error, X[:,j]) # (97, 1) # temp[0,j] = theta[0,j] - ((alpha / m) * np.sum(term)) # (1,1) theta = temp cost[i] = computeCost(X, y, theta) return theta, cost初始化一些附加变量 - 学习速率α和要执行的迭代次数。
alpha = 0.01 epoch = 1000现在让我们运行梯度下降算法来将我们的参数θ适合于训练集。
final_theta, cost = gradientDescent(X, y, theta, alpha, epoch)最后，我们可以使用我们拟合的参数计算训练模型的代价函数（误差）。
computeCost(X, y, final_theta)现在我们来绘制线性模型以及数据，直观地看出它的拟合。
np.linspace()在指定的间隔内返回均匀间隔的数字。
x = np.linspace(data.Population.min(), data.Population.max(), 100) # 横坐标 f = final_theta[0, 0] + (final_theta[0, 1] * x) # 纵坐标，利润 fig, ax = plt.subplots(figsize=(6,4)) ax.plot(x, f, 'r', label='Prediction') ax.scatter(data['Population'], data.Profit, label='Traning Data') ax.legend(loc=2) # 2表示在左上角 ax.set_xlabel('Population') ax.set_ylabel('Profit') ax.set_title('Predicted Profit vs. Population Size') plt.show()由于梯度方程式函数也在每个训练迭代中输出一个代价的向量，所以我们也可以绘制。 请注意，线性回归中的代价函数总是降低的 - 这是凸优化问题的一个例子。
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,4)) ax.plot(np.arange(epoch), cost, 'r') # np.arange()返回等差数组 ax.set_xlabel('Iterations') ax.set_ylabel('Cost') ax.set_title('Error vs. Training Epoch') plt.show()练习1还包括一个房屋价格数据集，其中有2个变量（房子的大小，卧室的数量）和目标（房子的价格）。 我们使用我们已经应用的技术来分析数据集。
path = 'ex1data2.txt' data2 = pd.read_csv(path, names=['Size', 'Bedrooms', 'Price']) data2.head()对于此任务，我们添加了另一个预处理步骤 - 特征归一化。 这个对于pandas来说很简单
data2 = (data2 - data2.mean()) / data2.std() data2.head()现在我们重复第1部分的预处理步骤，并对新数据集运行线性回归程序。
# add ones column data2.insert(0, 'Ones', 1) # set X (training data) and y (target variable) cols = data2.shape[1] X2 = data2.iloc[:,0:cols-1] y2 = data2.iloc[:,cols-1:cols] # convert to matrices and initialize theta X2 = np.matrix(X2.values) y2 = np.matrix(y2.values) theta2 = np.matrix(np.array([0,0,0])) # perform linear regression on the data set g2, cost2 = gradientDescent(X2, y2, theta2, alpha, epoch) # get the cost (error) of the model computeCost(X2, y2, g2), g2我们也可以快速查看这一个的训练进程。
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8)) ax.plot(np.arange(epoch), cost2, 'r') ax.set_xlabel('Iterations') ax.set_ylabel('Cost') ax.set_title('Error vs. Training Epoch') plt.show()我们也可以使用scikit-learn的线性回归函数，而不是从头开始实现这些算法。 我们将scikit-learn的线性回归算法应用于第1部分的数据，并看看它的表现。
from sklearn import linear_model model = linear_model.LinearRegression() model.fit(X, y)scikit-learn model的预测表现
x = np.array(X[:, 1].A1) f = model.predict(X).flatten() fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,5)) ax.plot(x, f, 'r', label='Prediction') ax.scatter(data.Population, data.Profit, label='Traning Data') ax.legend(loc=2) ax.set_xlabel('Population') ax.set_ylabel('Profit') ax.set_title('Predicted Profit vs. Population Size') plt.show()正规方程是通过求解下面的方程来找出使得代价函数最小的参数的： ∂ ∂ θ j J ( θ j ) = 0 \frac{\partial }{\partial {{\theta }_{j}}}J\left( {{\theta }_{j}} \right)=0 ∂θj∂J(θj)=0 。 假设我们的训练集特征矩阵为 X（包含了 x 0 = 1 {{x}_{0}}=1 x0=1）并且我们的训练集结果为向量 y，则利用正规方程解出向量 θ = ( X T X ) − 1 X T y \theta ={{\left( {{X}^{T}}X \right)}^{-1}}{{X}^{T}}y θ=(XTX)−1XTy 。 上标T代表矩阵转置，上标-1 代表矩阵的逆。设矩阵 A = X T X A={{X}^{T}}X A=XTX，则： ( X T X ) − 1 = A − 1 {{\left( {{X}^{T}}X \right)}^{-1}}={{A}^{-1}} (XTX)−1=A−1
梯度下降与正规方程的比较：
梯度下降：需要选择学习率α，需要多次迭代，当特征数量n大时也能较好适用，适用于各种类型的模型
正规方程：不需要选择学习率α，一次计算得出，需要计算 ( X T X ) − 1 {{\left( {{X}^{T}}X \right)}^{-1}} (XTX)−1，如果特征数量n较大则运算代价大，因为矩阵逆的计算时间复杂度为 O ( n 3 ) O(n3) O(n3)，通常来说当 n n n小于10000 时还是可以接受的，只适用于线性模型，不适合逻辑回归模型等其他模型
# 正规方程 def normalEqn(X, y): theta = np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y#X.T@X等价于X.T.dot(X) return theta final_theta2=normalEqn(X, y)#感觉和批量梯度下降的theta的值有点差距 final_theta2 #梯度下降得到的结果是matrix([[-3.24140214, 1.1272942 ]])在练习2中，我们将看看分类问题的逻辑回归。
