线代弱鸡指南（期中版

xiaoxiao2021-02-28 39

第一章行列式二阶和三阶行列式对换行列式的性质行列式按行（列）展开范德蒙德行列式克拉默法则第二章矩阵及其计算矩阵矩阵的运算逆矩阵矩阵分块法第三章矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换矩阵的秩线性方程组的解第四章向量组的线性相关性向量组及其线性组合向量组的线性相关性向量组的秩

第一章行列式

二阶和三阶行列式

二阶行列式：由二元线性方程组的来主要是为了求未知数x 符合对角线法则即主对角线上的元素之积相乘减去副对角线上的元素之积了解用二项行列式列方程求未知数 D指的是a的系数，D1是将第一列的a换成b，D2是将第二列的a的系数换成b的系数，具体看书逆序数：了解就行某两个元素后面的数比前面的数小的时候就是一个逆序三阶行列式：乘积有六项，也就是说第一列全部选完使得三个元素位于不同的行和列这样就是3*2=6计算：随便写，注意前面的符号，主要是列数的逆序数如果为奇数就为负号

对换

这两个定理了解就行。。反正我印象里没怎么用过 * 一个排列中的任意两个元素兑换，排列改变奇偶性 * 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数

行列式的性质

D^T：转置行列式相当于从主对角线上将D镜像性质一：行列式和转置行列式相等主要是为了得出行列式中的行和列性质相同，针对于行成立的性质对列也成立性质二：互换行列式的两行（列）行列式变号。做多了就记得了。。。推论：行列式有有两行（列）完全相同则这个行列式等于零性质三：行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一数k 等于用k乘该行列式这个性质还是蛮重要的。。性质四：行列式如果有两行（列）元素成比例此行列式等于零（由性质二和性质三得）性质五：若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和则D等于下列两个行列式之和（插图片太麻烦了。。翻下书）性质六：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数然后驾到另一列（行）对应的元素上去行列式不变总结：计算行列式的方法就是化为上三角或者下三角行列式然后主对角线相乘就好

行列式按行（列）展开

引入原因：低阶行列式的计算比高阶行列式的计算简便因此引入余子式和代数余子式 * 余子式：在n阶行列式中把（i，j）元a_ij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做a_ij的余子式一般记作M_ij

Aij=(−1)i+jMij A i j = ( − 1 ) i + j M i j 此时的A _ij称为代数余子式 * 引理：一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i,j）元a_ij外都为零那么这行列式等于a_ij塔的代数余子式的乘积即

D=aijAij D = a i j A i j 为什么不用负号呢？，因为对于一般请况来说 a_ij移到（1，1）处是不是i+j-2次呀之后呢那么也就是说

D1=(−1)i+j−2Dij D 1 = ( − 1 ) i + j − 2 D i j 那这样不就有了代数余子式的系数吗所以说不用乘以系数啦 * 定理三：行列式等于它的任意行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和（不要问我定理一和二哪里去了。。。我也不知道）

D=ai1Ai1+ai2Ai2+……ainAin(i=1,2,……,n) D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + … … a i n A i n ( i = 1 , 2 , … … , n )

D=a1jA1j+a2jA2j+……anjAnj(j=1,2,……,n) D = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + … … a n j A n j ( j = 1 , 2 , … … , n ) 这个定理就是行列式的按行（列）展开法则，可以用来简化行列式的计算 * 定理三的推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列的）对应元素的代数余子式乘积之和等于零证明方法就是展开之后发现有两行（列）相等即为零

范德蒙德行列式

看一下就好了了解平常用笨方法能做出来的。。

克拉默法则

简单来说就是用行列式求解未知数的法则 * 定义：自己翻翻书。。好长不想打了 * 定理四：如果线性方程组的系数行列式 D≠0 则该线性方程组一定有解并且解是唯一的（当然这里有个前提就是说未知数数量≤等式数量） * 定理四的逆否命题：如果线性方程组误解或有两个不同的解则它的系数行列式必为零 * 非齐次线性方程组：常数项不全为零 * 齐次线性方程组：常数项全为零 * 零解：未知数全为零的解 * 齐次线性方程组一定有零解但不一定有非零解（自己考虑一下） * 定理五：如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0 则齐次线性方程组没有非零解 * 定理五的逆否：如果齐次线性方程组有非零解则它的系数行列式必为零 * 对于定理五的解释首先齐次线性方程组一定有零解那么如果D不等于0 则有且仅有一解你懂我意思吧

第二章矩阵及其计算

矩阵

只有一行的矩阵会写成小括号的形式。。。其实我觉得都差不多。单位矩阵：主对角线上的元素都是1对角矩阵: 不在主对角线上的元素都是零

矩阵的运算

加减乘除自己看书。。。插图片好麻烦 * 矩阵的加法 * 矩阵的乘法（数和矩阵） * 矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵 * 转置的性质： (AT)T=A (A+B)T=AT+BT cAT=cAT 其中c为常数 (AB)T=BTAT * 对称矩阵：设A为n阶方阵如果满足 AT=A 则为对称矩阵元素以对角线为对称轴相等话说那个对称矩阵一定是方阵吧。。 * 方阵的行列式： |AT|=|A| 行列式的性质第一章讲过忘了打屁股 |βA|=βnA |AB|=|A||B| 这些性质都蛮重要的记得记好啊

逆矩阵

定义：对于n阶矩阵A 如果有一个n阶矩阵B使得

AB=BA=E A B = B A = E 则说明矩阵A是可逆的并且矩阵B称为A的逆矩阵如果矩阵A是可逆的那么A的逆矩阵是唯一的定理一：若矩阵A可逆则

|A|≠0 | A | ≠ 0 定理二：若

|A|≠0 | A | ≠ 0 则矩阵A可逆并且以下式子成立

A−1=1/|A|∗A∗ A − 1 = 1 / | A | ∗ A ∗ 其中

A∗为矩阵A的伴随矩阵 A ∗ 为矩阵 A 的伴随矩阵（其实就是引出伴随矩阵的意义其他没啥软用）伴随矩阵是余子矩阵的转置具体看一下wiki百科一般是求矩阵的逆时用的比较多。。不过我觉得待定系数法也不是很麻烦

|A|=0 | A | = 0 时 A称为奇异矩阵（你要是当爱奇艺记也没什么毛病爱奇艺矩阵行列式为零23333）否则就叫做非奇异矩阵所以说由定理一可以推出来可逆矩阵就是非奇异矩阵由定理二可得如下推论：若

AB=E(或BA=E)则B=A−1 A B = E ( 或 B A = E ) 则 B = A − 1

若A可逆则A−1也可逆并且(A−1)−1=A 若 A 可逆则 A − 1 也可逆并且 ( A − 1 ) − 1 = A

若A可逆数β≠0则βA可逆且（βA）−1=1/β∗A−1 若 A 可逆数 β ≠ 0 则 β A 可逆且（ β A ） − 1 = 1 / β ∗ A − 1

若AB为同阶矩阵且均可逆，则AB也可逆，且（AB）−1=B−1A−1 若 A B 为同阶矩阵且均可逆，则 A B 也可逆，且（ A B ） − 1 = B − 1 A − 1

若A可逆则AT也可逆并且（AT）−1=(A−1)T 若 A 可逆则 A T 也可逆并且（ A T ） − 1 = ( A − 1 ) T 如果要求矩阵的n次方的话一定要利用条件乘一点东西再除一点东西结合具体题目来看吧你们书上应该有类似的题目一般来说是求另一个矩阵的逆之后简简单单就出来啦

矩阵分块法

由于一般考试最多考到3*3矩阵这章了解就好了而且也没啥考点

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的初等变换

由消元解方程思想引出思想是和画成行列式的上（下）三角矩阵一样的只不过后边多了个等式的系数最后的解要写的和书上差不多取x几为自由变量然后balabala的 * 矩阵的初等变换 * 对调两行（不改变正负号和行列式相反） * 将数k≠0乘某一行中的所有元素 * 将某一行所有元素的k倍驾到另一行对应的元素上去 * 矩阵等价不高兴写了太长了。。 * 算了还是写一下吧 * 如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B 就称矩阵A与B行等价 * 列等价和等价构造差不多。。 * 矩阵的标准型：矩阵的左上角是一个单位矩阵其余元素都为零其实就和找对象一样。。（歪了歪了） * ～是等价符号以后不会再说。。 * 定理一：设A与B为m*n矩阵那么 * A～B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P使得PA=B * A～B的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使AQ=B * A～B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q使得PAQ=B * 可以得到如下乱七八糟的性质印象不是很深刻应该不是重点 * 性质一：设A是一个m*n矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵。对A 施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵 * 性质二：方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1P2……Pn使得A=P1P2……Pn * 可得推论方阵A可逆的充分必要条件是A～E（证明略略略略）####

矩阵的秩

矩阵标准型中非零行的行数矩阵的秩用R表示零矩阵的秩为零可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数因此可逆矩阵又称满秩矩阵不可逆矩阵又称为降秩矩阵矩阵的秩性质：

0≤R(Am∗n)≤min|m,n| 0 ≤ R ( A m ∗ n ) ≤ m i n | m , n |

R(AT)=R(A) R ( A T ) = R ( A )

若A～B则R（A）=R（B）若 A ～ B 则 R （ A ） = R （ B ）

若PQ可逆则R(PAQ)=R(A) 若 P Q 可逆则 R ( P A Q ) = R ( A )

max|R(A),R(B)|≤R(A,B)≤R(A)+R(B) m a x | R ( A ) , R ( B ) | ≤ R ( A , B ) ≤ R ( A ) + R ( B )

线性方程组的解

又有奇奇怪怪的定理了 * 对于n元线性方程组Ax=b * 无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b) * 有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n * 有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n * n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)<n * 线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b) * 矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B) 本章主要就是给你个为质量让你求这个未知量等于多少是有唯一解无解无数解大概就是这样

第四章向量组的线性相关性

向量组及其线性组合

向量b能由向量组A：a1,a2,……，am线性表示的充分必要条件是矩阵A=（a1，a2……，am）的秩等于矩阵B=(a1,a2,……,am,b)的秩向量 b 能由向量组 A ： a 1 , a 2 , … … ， a m 线性表示的充分必要条件是矩阵 A = （ a 1 ， a 2 … … ， a m ）的秩等于矩阵 B = ( a 1 , a 2 , … … , a m , b ) 的秩如果B组中的每个向量都能由向量组A线性表示则称向量组B能由向量组A线性表示如果能互相表示则称这两个向量组等价

向量组B：b1,b2……，bi能由向量组A：a1,a2,……，am线性表示的充分必要条件是矩阵A=（a1，a2……，am）的秩等于矩阵B=(a1,a2,……,am,b1,b2,……，bi)的秩也就是R(A)=R(A,B) 向量组 B ： b 1 , b 2 … … ， b i 能由向量组 A ： a 1 , a 2 , … … ， a m 线性表示的充分必要条件是矩阵 A = （ a 1 ， a 2 … … ， a m ）的秩等于矩阵 B = ( a 1 , a 2 , … … , a m , b 1 , b 2 , … … ， b i ) 的秩也就是 R ( A ) = R ( A , B ) 那么如何做题呢把给的凑一个矩阵之后算未知数的值其实和第三章学的内容是一样的

向量组的线性相关性

定义：给定向量组A：a1,a2,……,am如果存在不全为零的数k1,k2……，km使得定义：给定向量组 A ： a 1 , a 2 , … … , a m 如果存在不全为零的数 k 1 , k 2 … … ， k m 使得

k1a1+k2a2+……kmam=0 k 1 a 1 + k 2 a 2 + … … k m a m = 0 则称向量组A是线性相关的否则称它为线性无关

向量组a1,a2……,am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(a1,a2,……,am)的秩小于向量个数m向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m 向量组 a 1 , a 2 … … , a m 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 A = ( a 1 , a 2 , … … , a m ) 的秩小于向量个数 m 向量组线性无关的充分必要条件是 R ( A ) = m 又是莫名其妙的定理

若向量组A：a1,a2,……,am线性相关则向量组B:a1,a2,……,am,am+1也线性相关反过来说若向量组B线性无关则向量组A也线性无关若向量组 A ： a 1 , a 2 , … … , a m 线性相关则向量组 B : a 1 , a 2 , … … , a m , a m + 1 也线性相关反过来说若向量组 B 线性无关则向量组 A 也线性无关

m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量个数m时一定线性相关特别的n+1d个n维向量一定线性相关 m 个 n 维向量组成的向量组当维数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关特别的 n + 1 d 个 n 维向量一定线性相关

设向量组A：a1,a2,……,am线性无关而向量组B:a1,a2,……,am,b线性无关则向量b必能由向量组A线性表示并且表达式是唯一的设向量组 A ： a 1 , a 2 , … … , a m 线性无关而向量组 B : a 1 , a 2 , … … , a m , b 线性无关则向量 b 必能由向量组 A 线性表示并且表达式是唯一的

向量组的秩

定义：设有向量组A，如果在A中选出r个向量a1,a2,……,ar，满足定义：设有向量组 A ，如果在 A 中选出 r 个向量 a 1 , a 2 , … … , a r ，满足 *

向量组A0:a1,a2,……,ar，线性无关向量组 A 0 : a 1 , a 2 , … … , a r ，线性无关 *

向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相关向量组 A 中任意 r + 1 个向量（如果 A 中有 r + 1 个向量的话）都线性相关就称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组所含向量个数r称为向量组的秩

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