QwQ论迟到的一天
现在给出了三个定理：
1.对换改变排列的奇偶性
2.在全部n阶 (n≥2) ( n ≥ 2 ) 排列中，奇偶排列各占一半
证明：将每个奇排列中的 1 1 和22进行交换，就能得到一个彼此不同的偶排列（因为要么2和1的对应位置不同，要么其他位置的数字不同），从而可以得出 num奇≥num偶 n u m 奇 ≥ n u m 偶 偶排列同理。 所以 num奇=num偶 n u m 奇 = n u m 偶
3.定理：任意一个排列可经过一系列对换变成自然排列，并且所作对换次数的奇偶性与这个排列的奇偶性相同
行列式
定义： N N 阶行列式是由n2n2个数 aij a i j 通过下式求
sumj1j2...jnsgn(j1j2..jn)a1j1....anjn s u m j 1 j 2 . . . j n s g n ( j 1 j 2 . . j n ) a 1 j 1 . . . . a n j n这个式子也称为行列式的完全展开式 其中
sgn(j1j2...jn)=1(j1j2...jn)是偶排列） s g n ( j 1 j 2 . . . j n ) = 1 ( j 1 j 2 . . . j n ) 是 偶 排 列 ） sgn(j1j2...jn)=−1(j1j2...jn是奇排列） s g n ( j 1 j 2 . . . j n ) = − 1 ( j 1 j 2 . . . j n 是 奇 排 列 ）最朴素的求行列式
cin>>n; for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=n;j++) cin>>z[i][j]; for (int a=1;a<=n;a++) y[a]=a; do { int res=1; for (int i=1;i<=n;i++) res=res*z[i][y[i]]; if (jipailie(y)) res=-res; ans+=res; }while (next+permutation(y+1,y+1+n)一些关于行列式的引理：
1.行列互换，行列式的值不变 2.用一个数乘行列式的某行等于用这个数乘此行列式 3.如果行列式中某一行是两组数之和，则这个行列式等于两个行列式之和….. 4.对换行列式中两行的位置，行列式反号 5.如果行列式中有两行成比例，则行列式等于0 6.引理：把一行的某个倍数加到另一行，行列式的值不变
余子式
定义：行列式D的第i行第i列的余子式 Mij M i j 是将行列式的第i行第j列去掉之后剩下的行列式的值
代数余子式
定义：行列式D的第i第j列的代数余子式 Tij=|Mij|∗(−1)i+j T i j = | M i j | ∗ ( − 1 ) i + j
引理！
|D|=∑i=1nTij | D | = ∑ i = 1 n T i j
Cramer法则
下面介绍两个引理：
引理一： 若齐次线性方程组的系数行列式 D!=0 D ! = 0 ,则方程只有零解
引理2： 如果其词线性方程组有非零解，则系数行列式必为零
高斯消元
QwQ这里就不做多的解释了，直接看我很久之前一篇高斯消元的讲解！贼鸡儿详细哟
这里介绍一个黑科技
int sign(int x) { if (fabs(x)<=eps) return 0; if (x>0) return 1; else return -1; }判断一个实数是正数，负数，0
矩阵
矩阵的一些基本概念
相等 A=B 当A和B的行数，列数都相等，且每一行和每一列的元素都对应相等的时候，我们称A和B是相等的矩阵
元素 矩阵中的每一个数都是一个元素，其实A的第i行第j列的元素可以写作entry(A,i,j)
对角线元素 顾名思义，就是对角线上的元素咯，也就是 entry（A，i，i）。
零矩阵 O 所有元素都是0的矩阵
矩阵的迹
表示A的主对角线上的元素之和，记为tr（A），tr（A）=sigma（entry（A，i，i））
向量 行向量、列向量 emmmm 相信各位都是高中的人士？如果没学过向量的话，可以把向量看成……带方向的线段？嗯 差不多
特殊的一些矩阵
1.对角矩阵（只有对角线有元素的矩阵） 2.单位矩阵 I I <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1552">I</script> 对角线全是1的对角矩阵 3.纯量矩阵 （对角线元素都一样） 4.上三角矩阵 5.下三角矩阵 6.对称矩阵（关于对角线对称） 7.反对称矩阵（关于对角线取反）
下面一些关于矩阵计算的 可以直接看我之前的博客QwQ
