对称矩阵有什么特点?主要是以下两个性质: 1.特征值为实数 2.特征向量正交，或者可以通过选择正交(当 λ值重复时，则可以在一个平面中选择两个垂直的特征向量 λ 值 重 复 时 ， 则 可 以 在 一 个 平 面 中 选 择 两 个 垂 直 的 特 征 向 量 )
我们知道，普通情况下，当A有n个独立的特征向量时，可以表示为 A=SΛS−1 A = S Λ S − 1 ,那么当A为对称矩阵时呢? A=QΛQ−1=QΛQT(其中Q为所有列都标准正交的矩阵) A = Q Λ Q − 1 = Q Λ Q T ( 其 中 Q 为 所 有 列 都 标 准 正 交 的 矩 阵 )
为什么对称矩阵的特征值为实数?
首先我们有: Ax=λx A x = λ x 然后，我们做共轭处理(这里实际是假设A的特征值为复数): Axˇ=λˇxˇ−>xˇTAT=xˇTλˇ−>xˇTA=xˇTλˇ A x ˇ = λ ˇ x ˇ − > x ˇ T A T = x ˇ T λ ˇ − > x ˇ T A = x ˇ T λ ˇ （每个矩阵，如果有一个特征值为a + bi,那么必有对应的共轭复数a - bi） 我们对这个式子两边乘以 x x ,得:xˇTAx=xˇTλˇxxˇTAx=xˇTλˇx,我们再对 Ax=λx A x = λ x 两边乘以 xˇ x ˇ ,得 xˇTAx=λxˇTx x ˇ T A x = λ x ˇ T x 于是，将两个式子对比，有 λˇ=λ λ ˇ = λ ,所以 λ λ 为实数
我们得出 λ λ 为实数有一个前提，那就是 xˇTx x ˇ T x 不等于0，我们来看看它是什么形式 由此，我们也知道了一个复数向量乘以其共轭向量的转置，得到的必定大于0
之前我们推导的前提为A为实对称矩阵，那么A为复数矩阵呢? 我们知道，好的矩阵有两个性质: 1. λ λ 为实数 2.特征向量正交 满足此性质的为 A=AT(实数情况下) A = A T ( 实 数 情 况 下 ) ， A=AˇT(复数情况下) A = A ˇ T ( 复 数 情 况 下 )
再来看看 A=QΛQT A = Q Λ Q T 由这个等式，可以知道每个对称矩阵都是互相正交的投影矩阵的组合
当我们知道对称矩阵的特征值为实数时，我们就想知道这些特征值到底为正数还是负数(之前的课里讲过,微分方程以及幂方程的收敛性都与 λ λ 有关，因此它的正负号很重要),那么我们应该如何得知?答案是通过主元(即pivot)!!!
引入一个定理: 如果A是对称矩阵，则它的主元符号与特征值符号相同,数目也相同
正定矩阵的性质: 对称矩阵且主元,特征值和所有子行列式(需要检查n个)都为正数
为什么行列式要检查所有n个子行列式?看看这个例子: [−100−3] [ − 1 0 0 − 3 ] 行列式为整数，但是显然不是正定矩阵，因此我们要检查-1,4，发现-1不满足正数
