问题描述：

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

For example, given the following triangle

[ [2], [3,4], [6,5,7], [4,1,8,3] ]

The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

Note: Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

问题来源：Triangle

解题分析：

这里我用了两种方法去解决这个问题。一种是DFS方法，此方法时间复杂度可能会比较大；另一种是DP方法，此方法从代码简易度，时间复杂度，空间复杂度来看，都优于DFS方法。但仁者见仁，智者见智，多一种思路总归是能拓展视野，因此把前一种方法也分享出来。 思路一：第一次见到这个问题，我便想到了采用DFS算法，深度搜索每一条路径，找出和最小的那条路径。但这种方法会使得空间复杂度很大，每次遍历一条路径都要返回，浪费了很多时间。当数组很大的时候，特别容易发生超时这种现象。 思路二：其次采用了DP算法，我们沿着从底向上的思路，每次计算当前层每个数与下一层相邻的数的和的最小值，从底向上。 状态：triangle[i][j]代表第i层，第j个数开始到数组底部最小的和 状态迁移方程：triangle[i][j] += min(triangle[i+1][j], triangle[i+1][j+1]);

源代码：

//DFS solution class Solution { public: int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) { int minimum = 0; for (int i = 0; i < triangle.size(); i++) { minimum += triangle[i][0]; } int sum = triangle[0][0]; findminmumTotal(1, triangle, 0, minimum, sum); return minimum; } //flag代表的是当前已遍历到了第几层，i是遍历的数在每层的位置，sum是从第0层到当层的和 void findminmumTotal(int flag, vector<vector<int>>& nums, int i, int& min, int sum) { if (flag == nums.size()) { if (min > sum) { min = sum; } return ; } findminmumTotal(flag+1, nums, i, min, sum+nums[flag][i]); findminmumTotal(flag+1, nums, i+1, min, sum+nums[flag][i+1]); } }; //DP solution class Solution { public: int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) { for (int i = triangle.size() - 2; i >= 0; i--) { for (int j = 0; j < triangle[i].size(); j++) { triangle[i][j] += min(triangle[i+1][j], triangle[i+1][j+1]); } } return triangle[0][0]; } };