设 ∀a∈A,Va 是线性空间 W 的子空间，则 ⋂a∈AVa 也是 W 的子空间。 设 V1,V2 是线性空间 W 的子空间，则 V1 V2 也是 W 的子空间。 设 ∀i∈N,Vi 是线性空间 W 的子空间，则 1. V1∩V2=V2∩V1 2. (V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3) 3. V1+V2=V2+V1 4. (V1+V2)+V3=V1+(V2+V3) 5. 定义 ∑i=1nVi=⎧⎩⎨⎪⎪V1,∑i=1n−1Vi+Vn,n=1n>1 则 ∑i=1nVi={∑i=1nαi:αi∈Vi} 证明： n=1 时显然成立。 假设 n 时成立。则 n 1 时，令 A={∑i=1nαi:αi∈Vi} 则 (1) α∈A⇒ 存在 {αi∈Vi:1≤i≤n+1}, 使得 α=∑i=1n+1αi=∑i=1nαi+αn+1∈∑i=1nVi+Vn+1=∑i=1n+1Vi (2) α∈∑i=1n+1Vi⇒ 存在 β∈∑i=1nVi,αn+1∈Vn+1, 使得 α=β+αn+1, 因此存在 {αi∈Vi:1≤i≤n}, 使得 β=∑i=1nαi, 因此 β+αn+1=∑i=1nαi+αn+1=∑i=1n+1αi⇒α∈A 6. V 是 W 的子空间， V⊆V1,V⊆V2, 则 V⊆V1∩V2 7. V 是 W 的子空间， V1⊆V,V2⊆V, 则 V1+V2⊆V 8. V1⊆V2⇔V1∩V2=V2⇔V1+V2=V2
